Rovnice dôsledkov. Ostatné transformácie vedúce k rovnici sú dôsledkom

Trieda: 11

Trvanie: 2 lekcie.

Účel lekcie:

• (pre učiteľa) formovanie u študentov holistického chápania metód riešenia iracionálnych rovníc.
• (pre študentov) Rozvoj schopnosti pozorovať, porovnávať, zovšeobecňovať a analyzovať matematické situácie (snímka 2). Príprava na jednotnú štátnu skúšku.

Plán prvej hodiny(snímka 3)

1. Aktualizácia vedomostí
2. Analýza teórie: Zvýšenie rovnice na párnu mocninu
3. Workshop o riešení rovníc

Plán druhej hodiny

1. Diferencovaná samostatná práca v skupinách „Iracionálne rovnice na jednotnej štátnej skúške“
2. Zhrnutie lekcií
3. Domáca úloha

Priebeh lekcií

I. Aktualizácia vedomostí

Cieľ: zopakujte si pojmy potrebné na úspešné zvládnutie témy lekcie.

Frontálny prieskum.

– Ktoré dve rovnice sa nazývajú ekvivalentné?

– Aké transformácie rovnice sa nazývajú ekvivalentné?

– Nahraďte túto rovnicu ekvivalentnou rovnicou s vysvetlením použitej transformácie: (snímka 4)

a) x+ 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; d) = -4.

– Ktorá rovnica sa nazýva dôsledková rovnica pôvodnej rovnice?

– Môže mať výsledná rovnica koreň, ktorý nie je koreňom pôvodnej rovnice? Ako sa nazývajú tieto korene?

– Aké transformácie rovnice vedú ku dôsledkovým rovniciam?

– Čo sa nazýva aritmetická druhá odmocnina?

Dnes sa budeme podrobnejšie zaoberať transformáciou „Zvýšenie rovnice na rovnomernú moc“.

II. Analýza teórie: Zvýšenie rovnice na párnu mocninu

Výklad učiteľa za aktívnej účasti žiakov:

Nechajte 2m(mN) je pevné párne prirodzené číslo. Potom dôsledok rovnicef(x) =g(x) je rovnica (f(x)) = (g(X)).

Veľmi často sa toto tvrdenie používa pri riešení iracionálnych rovníc.

Definícia. Rovnica obsahujúca neznámu pod koreňovým znakom sa nazýva iracionálna.

Pri riešení iracionálnych rovníc sa používajú tieto metódy: (snímka 5)

Pozor! Metódy 2 a 3 vyžadujú povinné kontroly.

ODZ nie vždy pomáha eliminovať cudzie korene.

Záver: Pri riešení iracionálnych rovníc je dôležité prejsť tromi fázami: technická, analýza riešenia, overenie (snímka 6).

III. Workshop o riešení rovníc

Vyriešte rovnicu:

Po diskusii o tom, ako vyriešiť rovnicu pomocou druhej mocniny, vyriešte tak, že prejdete na ekvivalentný systém.

Záver: Najjednoduchšie rovnice s celočíselnými koreňmi možno vyriešiť akoukoľvek známou metódou.

b) = x – 2

Riešením umocnením oboch strán rovnice na rovnakú mocninu žiaci získajú odmocniny x = 0, x = 3 -, x = 3 +, ktoré je ťažké a časovo náročné kontrolovať dosadením. (Snímka 7). Prechod na ekvivalentný systém

umožňuje rýchlo sa zbaviť cudzích koreňov. Podmienku x ≥ 2 spĺňa iba x.

Odpoveď: 3+

Záver: Je lepšie skontrolovať iracionálne korene prechodom na ekvivalentný systém.

c) = x – 3

V procese riešenia tejto rovnice získame dva korene: 1 a 4. Obidva korene spĺňajú ľavú stranu rovnice, ale keď x = 1, je porušená definícia aritmetickej odmocniny. Rovnica ODZ nepomáha eliminovať cudzie korene. Prechod na ekvivalentný systém dáva správnu odpoveď.

Záver:dobrá znalosť a pochopenie všetkých podmienok na určenie aritmetickej druhej odmocniny pomáha posunúť sa ďalejvykonávanie ekvivalentných transformácií.

Umocnením oboch strán rovnice dostaneme rovnicu

x + 13 - 8 + 16 = 3 + 2x - x, umiestnením radikálu na pravú stranu, dostaneme

26 – x + x = 8. Aplikácia ďalších úkonov na odmocnenie oboch strán rovnice povedie k rovnici 4. stupňa. Prechod na rovnicu ODZ poskytuje dobrý výsledok:

nájdime rovnicu ODZ:

x = 3.

Skontrolujte: - 4 = , 0 = 0 správne.

Záver:Niekedy je možné riešiť pomocou definície rovnice ODZ, ale určite skontrolujte.

Riešenie: Rovnica ODZ: -2 – x ≥ 0 x ≤ -2.

Pre x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Preto je ľavá strana rovnice záporná a pravá strana nezáporná; preto pôvodná rovnica nemá korene.

Odpoveď: žiadne korene.

Záver:Po správnom zdôvodnení obmedzenia podmienky rovnice môžete ľahko nájsť korene rovnice alebo zistiť, že neexistujú.

Na príklade riešenia tejto rovnice ukážte dvojité kvadratúry rovnice, vysvetlite význam slovného spojenia „samota radikálov“ a potrebu kontroly nájdených koreňov.

h) + = 1.

Riešenie týchto rovníc sa uskutočňuje metódou nahradzovania premennej až do návratu k pôvodnej premennej. Ponúknite riešenie tým, ktorí dokončia úlohy v ďalšej fáze skôr.

Kontrolné otázky

• Ako vyriešiť najjednoduchšie iracionálne rovnice?
• Čo si musíte zapamätať pri zvyšovaní rovnice na párnu mocninu? ( môžu sa objaviť cudzie korene)
• Aký je najlepší spôsob, ako skontrolovať iracionálne korene? ( pomocou ODZ a podmienok pre zhodu znamienok oboch strán rovnice)
• Prečo je potrebné vedieť analyzovať matematické situácie pri riešení iracionálnych rovníc? ( Pre správnu a rýchlu voľbu spôsobu riešenia rovnice).

IV. Diferencovaná samostatná práca v skupinách „Iracionálne rovnice na jednotnej štátnej skúške“

Trieda je rozdelená do skupín (2-3 osoby) podľa úrovne zaškolenia, každá skupina si vyberie možnosť s úlohou, diskutuje a rieši vybrané úlohy. V prípade potreby požiadajte o radu učiteľa. Po splnení všetkých úloh v ich verzii a skontrolovaní odpovedí učiteľom členovia skupiny individuálne dokončia riešenie rovníc g) ah) predchádzajúcej etapy vyučovacej hodiny. Pre možnosti 4 a 5 (po kontrole odpovedí a riešení učiteľom) sa na tabuľu píšu ďalšie úlohy, ktoré sa plnia individuálne.

Všetky individuálne riešenia sú predložené vyučujúcemu na overenie na konci vyučovacích hodín.

možnosť 1

Riešte rovnice:

a) = 6;
b) = 2;
c) = 2 – x;
d) (x + 1) (5 – x) (+ 2 = 4.

Možnosť 5

1. Vyriešte rovnicu:

a) = ;
b) = 3 – 2x;

2. Vyriešte sústavu rovníc:

Ďalšie úlohy:

V. Zhrnutie lekcií

Aké ťažkosti ste mali pri plnení úloh USE? Čo je potrebné na prekonanie týchto ťažkostí?

VI. Domáca úloha

Zopakujte si teóriu riešenia iracionálnych rovníc, prečítajte si odsek 8.2 v učebnici (pozor na príklad 3).

Riešenie č. 8.8 (a, c), č. 8.9 (a, c), č. 8.10 (a).

Literatúra:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra a začiatok matematickej analýzy , učebnica pre 11. ročník všeobecnovzdelávacích inštitúcií, M.: Prosveshchenie, 2009.
2. Mordkovich A.G. O niektorých metodologických otázkach súvisiacich s riešením rovníc. Matematika v škole. -2006. -Nie 3.
3. M. Shabunin. Rovnice. Prednášky pre stredoškolákov a uchádzačov o štúdium. Moskva, „Chistye Prudy“, 2005. (knižnica „Prvý september“)
4. E.N. Balayan. Workshop riešenia problémov. Iracionálne rovnice, nerovnice a systémy. Rostov na Done, „Phoenix“, 2006.
5. Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2011. Spracoval F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova légia-M, Rostov na Done, 2010.

Dajme dve rovnice

Ak je každý koreň rovnice (1) zároveň koreňom rovnice (2), potom sa rovnica (2) nazýva dôsledkom rovnice (1). Všimnite si, že ekvivalencia rovníc znamená, že každá z rovníc je dôsledkom druhej.

V procese riešenia rovnice je často potrebné aplikovať transformácie, ktoré vedú k rovnici, ktorá je dôsledkom tej pôvodnej. Dôsledná rovnica je splnená všetkými koreňmi pôvodnej rovnice, ale okrem nich môže mať výsledná rovnica aj riešenia, ktoré nie sú koreňmi pôvodnej rovnice, sú to takzvané cudzie korene. Na identifikáciu a odstránenie cudzích koreňov zvyčajne robia toto: všetky nájdené korene dôsledkovej rovnice sa skontrolujú substitúciou do pôvodnej rovnice.

Ak sme ju pri riešení rovnice nahradili dôsledkovou rovnicou, potom je vyššie uvedená kontrola neoddeliteľnou súčasťou riešenia rovnice. Preto je dôležité vedieť, pri akých transformáciách sa táto rovnica stáva dôsledkom.

Zvážte rovnicu

a vynásobte obe jeho časti rovnakým výrazom, ktorý dáva zmysel pre všetky hodnoty x. Dostaneme rovnicu

ktorého korene sú koreňmi rovnice (3) aj koreňmi rovnice . To znamená, že rovnica (4) je dôsledkom rovnice (3). Je jasné, že rovnice (3) a (4) sú ekvivalentné, ak „vonkajšia“ rovnica nemá korene.

Ak sa teda obe strany rovnice vynásobia výrazom, ktorý dáva zmysel pre akékoľvek hodnoty x, dostaneme rovnicu, ktorá je dôsledkom pôvodnej. Výsledná rovnica bude ekvivalentná pôvodnej, ak rovnica nemá korene. Všimnite si, že inverzná transformácia, t. j. prechod z rovnice (4) na rovnicu (3) vydelením oboch strán rovnice (4) výrazom, je vo všeobecnosti neprijateľná, pretože môže viesť k strate riešení (v tomto prípade, môžu to byť „stratené“ korene rovnice Napríklad rovnica má dva korene: 3 a 4. Delenie oboch strán rovnice vedie k rovnici, ktorá má iba jeden koreň 4, t. j. došlo k strate koreňa.

Zoberme si opäť rovnicu (3) a odmocnime obe strany. Dostaneme rovnicu

ktorej korene sú koreňmi rovnice (3) aj koreňmi „cudzej“ rovnice, t. j. rovnica je dôsledkom rovnice (3).

Niektoré transformácie nám umožňujú prejsť od riešenej rovnice k ekvivalentným, ako aj ku dôsledkovým rovniciam, čo zjednodušuje riešenie pôvodnej rovnice. V tomto materiáli vám povieme, čo sú tieto rovnice, sformulujeme základné definície, ilustrujeme ich na jasných príkladoch a presne vysvetlíme, ako sa korene pôvodnej rovnice počítajú z koreňov dôsledkovej rovnice alebo ekvivalentnej rovnice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pojem ekvivalentných rovníc

Definícia 1

Ekvivalent takéto rovnice sa nazývajú tie, ktoré majú rovnaké korene, alebo tie, v ktorých nie sú žiadne korene.

Definície tohto typu sa často nachádzajú v rôznych učebniciach. Uveďme si pár príkladov.

Definícia 2

Rovnica f(x) = g(x) sa považuje za ekvivalentnú rovnici r(x) = s(x), ak majú rovnaké korene alebo obe nemajú žiadne korene.

Definícia 3

Rovnice s rovnakými koreňmi sa považujú za ekvivalentné. Sú tiež považované za dve rovnice, ktoré rovnako nemajú korene.

Definícia 4

Ak rovnica f (x) = g (x) má rovnakú množinu koreňov ako rovnica p (x) = h (x), potom sa považujú za navzájom ekvivalentné.

Keď hovoríme o zhodnej množine koreňov, máme na mysli, že ak je určité číslo koreňom jednej rovnice, potom bude vhodné ako riešenie pre inú rovnicu. Žiadna z rovníc, ktoré sú ekvivalentné, nemôže mať koreň, ktorý nie je vhodný pre druhú.

Uveďme niekoľko príkladov takýchto rovníc.

Príklad 1

Napríklad 4 x = 8, 2 x = 4 a x = 2 budú ekvivalentné, pretože každý z nich má iba jeden koreň - dva. Tiež x · 0 = 0 a 2 + x = x + 2 budú ekvivalentné, pretože ich korene môžu byť ľubovoľné čísla, to znamená, že ich množiny riešení sa zhodujú. Ekvivalentné budú aj rovnice x = x + 5 a x 4 = − 1, z ktorých každá nemá jediné riešenie.

Kvôli prehľadnosti zvážte niekoľko príkladov neekvivalentných rovníc.

Príklad 2

Napríklad by to bolo x = 2 a x 2 = 4, pretože ich korene sú odlišné. To isté platí pre rovnice x x = 1 a x 2 + 5 x 2 + 5, pretože v druhej môže byť riešením ľubovoľné číslo a v druhej odmocnina nemôže byť 0.

Vyššie uvedené definície sú vhodné aj pre rovnice s viacerými premennými, ale v prípade, keď hovoríme o dvoch, troch alebo viacerých koreňoch, je vhodnejší výraz „riešenie rovnice“. Aby sme to zhrnuli: ekvivalentné rovnice sú tie rovnice, ktoré majú rovnaké alebo žiadne riešenia.

Zoberme si príklady rovníc, ktoré obsahujú niekoľko premenných a sú navzájom ekvivalentné. Teda x 2 + y 2 + z 2 = 0 a 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 každé zahŕňa tri premenné a má len jedno riešenie rovné 0 vo všetkých troch prípadoch. A dvojice rovníc x + y = 5 a x · y = 1 nebudú navzájom ekvivalentné, pretože napríklad hodnoty 5 a 3 sú vhodné pre prvú, ale nebudú riešením po druhé: pri ich nahradení do prvej rovnice dostaneme správnu rovnosť av druhej - nesprávnu.

Pojem dôsledkových rovníc

Uveďme niekoľko príkladov definícií dôsledkových rovníc prevzatých z učebníc.

Definícia 5

Dôsledkom rovnice f (x) = g (x) bude rovnica p (x) = h (x), za predpokladu, že každý koreň prvej rovnice je súčasne koreňom druhej.

Definícia 6

Ak má prvá rovnica rovnaké korene ako druhá, potom druhá bude dôsledkovou rovnicou prvej.

Uveďme si niekoľko príkladov takýchto rovníc.

Príklad 3

Takže x · 2 = 32 bude dôsledkom x − 3 = 0, pretože prvý má iba jeden koreň, rovný trom, a bude tiež koreňom druhej rovnice, preto v kontexte tejto definície , jedna rovnica bude dôsledkom druhej. Ďalší príklad: rovnica (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 bude dôsledkom x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4, pretože druhá rovnica má dva korene, rovné 2 a 3, ktoré budú zároveň koreňmi prvého.

Z vyššie uvedenej definície môžeme vyvodiť záver, že dôsledkom akejkoľvek rovnice, ktorá nemá korene, bude tiež akákoľvek rovnica. Tu sú niektoré ďalšie dôsledky všetkých pravidiel formulovaných v tomto článku:

Definícia 7

1. Ak je jedna rovnica ekvivalentná inej, potom každá z nich bude dôsledkom tej druhej.
2. Ak je každá z dvoch rovníc dôsledkom tej druhej, potom budú tieto rovnice navzájom ekvivalentné.
3. Rovnice budú vo vzájomnom vzťahu ekvivalentné iba vtedy, ak je každá z nich dôsledkom druhej.

Ako nájsť korene rovnice z koreňov dôsledkovej rovnice alebo ekvivalentnej rovnice

Na základe toho, čo sme napísali v definíciách, v prípade, že poznáme korene jednej rovnice, poznáme aj korene ekvivalentných, pretože sa budú zhodovať.

Ak poznáme všetky korene dôsledkovej rovnice, môžeme určiť korene druhej rovnice, ktorej je dôsledkom. Aby ste to dosiahli, musíte odstrániť iba cudzie korene. O tom, ako sa to robí, sme napísali samostatný článok. Odporúčame vám, aby ste si ju prečítali.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Môže viesť k objaveniu sa takzvaných cudzích koreňov. V tomto článku najprv podrobne analyzujeme, čo to je cudzie korene. Po druhé, povedzme si o dôvodoch ich výskytu. A po tretie, pomocou príkladov zvážime hlavné metódy odfiltrovania cudzích koreňov, to znamená kontroly koreňov na prítomnosť cudzích medzi nimi, aby sme ich vylúčili z odpovede.

Cudzie korene rovnice, definícia, príklady

Školské učebnice algebry neposkytujú definíciu cudzieho koreňa. Tam sa myšlienka cudzieho koreňa tvorí opisom nasledujúcej situácie: pomocou niektorých transformácií rovnice sa uskutoční prechod z pôvodnej rovnice na rovnicu dôsledkov, nájdu sa korene výslednej rovnice. a nájdené korene sa skontrolujú dosadením do pôvodnej rovnice, čo ukazuje, že niektoré z nájdených koreňov nie sú koreňmi pôvodnej rovnice, tieto korene sa nazývajú cudzie korene pre pôvodnú rovnicu.

Vychádzajúc z tohto základu môžete pre seba prijať nasledujúcu definíciu cudzieho koreňa:

Definícia

Cudzie korene- toto sú korene dôsledkovej rovnice získané ako výsledok transformácií, ktoré nie sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Uveďme si príklad. Uvažujme rovnicu a dôsledok tejto rovnice x·(x−1)=0, získaný nahradením výrazu identicky rovnakým výrazom x·(x−1) . Pôvodná rovnica má jeden koreň 1. Rovnica získaná ako výsledok transformácie má dva korene 0 a 1. To znamená, že 0 je cudzí koreň pre pôvodnú rovnicu.

Dôvody možného vzhľadu cudzích koreňov

Ak na získanie výslednej rovnice nepoužívate žiadne „exotické“ transformácie, ale používate iba základné transformácie rovníc, potom môžu cudzie korene vzniknúť iba z dvoch dôvodov:

• z dôvodu rozšírenia ODZ a
• v dôsledku zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú párnu mocninu.

Tu je potrebné pripomenúť, že dochádza najmä k expanzii ODZ v dôsledku transformácie rovnice

• Pri redukcii frakcií;
• Pri výmene produktu s jedným alebo viacerými nulovými faktormi nulou;
• Pri nahradení zlomku nulovým čitateľom nulou;
• Pri použití niektorých vlastností mocnin, koreňov, logaritmov;
• Pri použití niektorých goniometrických vzorcov;
• Keď sú obe strany rovnice vynásobené rovnakým výrazom, zmizne ODZ pre túto rovnicu;
• Pri oslobodzovaní od logaritmických znakov v procese riešenia.

Príklad z predchádzajúceho odseku článku ilustruje objavenie sa cudzieho koreňa v dôsledku expanzie ODZ, ku ktorému dochádza pri prechode z rovnice na dôsledkovú rovnicu x·(x−1)=0. ODZ pre pôvodnú rovnicu je množina všetkých reálnych čísel, s výnimkou nuly, ODZ pre výslednú rovnicu je množina R, čiže ODZ je rozšírená o číslo nula. Toto číslo sa nakoniec ukáže ako cudzí koreň.

Uvedieme tiež príklad vzhľadu cudzieho koreňa v dôsledku zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú párnu mocninu. Iracionálna rovnica má jediný koreň 4 a dôsledok tejto rovnice, získaný z nej kvadratúrou oboch strán rovnice, teda rovnica , má dva korene 1 a 4. Z toho je jasné, že kvadratúra oboch strán rovnice viedla k objaveniu sa cudzieho koreňa pre pôvodnú rovnicu.

Všimnite si, že rozšírenie ODZ a zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú rovnomernú silu nevedie vždy k objaveniu sa cudzích koreňov. Napríklad pri prechode z rovnice na dôsledkovú rovnicu x=2 sa ODZ rozšíri z množiny všetkých nezáporných čísel na množinu všetkých reálnych čísel, ale neobjavia sa žiadne cudzie korene. 2 je jediným koreňom prvej aj druhej rovnice. Pri prechode z rovnice na dôsledkovú rovnicu sa tiež neobjavia žiadne cudzie korene. Jediný koreň prvej aj druhej rovnice je x=16. Preto nehovoríme o dôvodoch výskytu cudzích koreňov, ale o dôvodoch možného výskytu cudzích koreňov.

Čo je skríningom vonkajších koreňov?

Pojem „preosievanie cudzích koreňov“ možno nazvať ustáleným, nenachádza sa vo všetkých učebniciach algebry, ale je intuitívny, a preto sa zvyčajne používa. Čo znamená preosievanie cudzích koreňov, je zrejmé z nasledujúcej vety: „... overenie je povinným krokom pri riešení rovnice, ktorá pomôže odhaliť cudzie korene, ak nejaké existujú, a zlikvidovať ich (zvyčajne hovoria „vyradiť “).”

teda

Definícia

Vylučovanie cudzích koreňov- ide o detekciu a vyradenie cudzích koreňov.

Teraz môžete prejsť k metódam skríningu cudzích koreňov.

Metódy skríningu cudzích koreňov

Kontrola náhrady

Hlavným spôsobom, ako odfiltrovať cudzie korene, je substitučný test. Umožňuje vám vyradiť cudzie korene, ktoré by mohli vzniknúť tak v dôsledku rozšírenia ODZ, ako aj v dôsledku zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú rovnomernú silu.

Substitučný test je nasledovný: nájdené korene korolárnej rovnice sa postupne dosadia do pôvodnej rovnice alebo do akejkoľvek rovnice, ktorá je jej ekvivalentná, tie, ktoré dávajú správnu číselnú rovnosť, sú korene pôvodnej rovnice a tie, ktoré dávajú nesprávna číselná rovnosť alebo výraz sú korene pôvodnej rovnice nezmyselné, sú cudzie korene pôvodnej rovnice.

Ukážme si na príklade, ako odfiltrovať cudzie korene pomocou substitúcie do pôvodnej rovnice.

V niektorých prípadoch je vhodnejšie odfiltrovať cudzie korene pomocou iných metód. Týka sa to najmä tých prípadov, keď je kontrola substitúciou spojená s výraznými výpočtovými ťažkosťami alebo keď štandardná metóda riešenia rovníc určitého typu vyžaduje ďalšiu kontrolu (napríklad skríning cudzích koreňov pri riešení zlomkových racionálnych rovníc sa vykonáva podľa podmienka, že menovateľ zlomku sa nerovná nule). Pozrime sa na alternatívne spôsoby, ako odstrániť cudzie korene.

Podľa DL

Na rozdiel od testovania substitúciou nie je filtrovanie cudzích koreňov pomocou ODZ vždy vhodné. Faktom je, že táto metóda vám umožňuje odfiltrovať iba cudzie korene, ktoré vznikajú v dôsledku expanzie ODZ, a nezaručuje preosievanie cudzích koreňov, ktoré by mohli vzniknúť z iných dôvodov, napríklad v dôsledku zvýšenia oboch strán. rovnice na rovnakú párnu mocninu . Navyše nie je vždy ľahké nájsť OD pre riešenú rovnicu. Metóda preosievania cudzích koreňov pomocou ODZ sa však oplatí udržiavať v prevádzke, pretože jej použitie často vyžaduje menej výpočtovej práce ako použitie iných metód.

Odburiňovanie cudzích koreňov podľa ODZ sa vykonáva takto: všetky nájdené korene dôsledkovej rovnice sa skontrolujú, aby sa zistilo, či patria do rozsahu prípustných hodnôt premennej pre pôvodnú rovnicu alebo akúkoľvek rovnicu s ňou ekvivalentnú, tie, ktoré patria do ODZ, sú koreňmi pôvodnej rovnice a tie, ktoré patria do ODZ, sú koreňmi pôvodnej rovnice, a tie, ktoré nepatria do ODZ, sú cudzie korene pôvodnej rovnice.

Analýza poskytnutých informácií vedie k záveru, že je vhodné preosiať cudzie korene pomocou ODZ, ak súčasne:

• je ľahké nájsť ODZ pre pôvodnú rovnicu,
• cudzie korene mohli vzniknúť len v dôsledku rozšírenia ODZ,
• Substitučné testovanie je spojené s významnými výpočtovými ťažkosťami.

Ukážeme si, ako sa v praxi vykonáva odburiňovanie cudzích koreňov.

Podľa podmienok DL

Ako sme povedali v predchádzajúcom odseku, ak by cudzie korene mohli vzniknúť iba v dôsledku rozšírenia ODZ, potom ich možno eliminovať pomocou ODZ pre pôvodnú rovnicu. Nie vždy je ale jednoduché nájsť ODZ vo forme číselnej sady. V takýchto prípadoch je možné vytriediť cudzie korene nie podľa ODZ, ale podľa podmienok, ktoré ODZ určujú. Vysvetlíme, ako sa v podmienkach ODZ vykonáva odstraňovanie burín z cudzích koreňov.

Nájdené korene sú zase nahradené podmienkami, ktoré určujú ODZ pre pôvodnú rovnicu alebo akúkoľvek rovnicu s ňou ekvivalentnú. Tie, ktoré spĺňajú všetky podmienky, sú koreňmi rovnice. A tie z nich, ktoré nespĺňajú aspoň jednu podmienku alebo dávajú výraz, ktorý nedáva zmysel, sú cudzie korene pôvodnej rovnice.

Uveďme príklad vytriedenia cudzích koreňov podľa podmienok ODZ.

Odstránenie vonkajších koreňov vznikajúcich pri zvýšení oboch strán rovnice na rovnomernú moc

Je jasné, že odstránenie vonkajších koreňov, ktoré vznikajú pri zvýšení oboch strán rovnice na rovnakú párnu mocninu, sa môže uskutočniť ich dosadením do pôvodnej rovnice alebo do akejkoľvek rovnice, ktorá je jej ekvivalentná. Takáto kontrola však môže zahŕňať značné výpočtové ťažkosti. V tomto prípade stojí za to poznať alternatívnu metódu preosievania cudzích koreňov, o ktorej teraz budeme hovoriť.

Vylúčenie vonkajších koreňov, ktoré môžu vzniknúť pri zvýšení oboch strán iracionálnych rovníc formy na rovnakú rovnomernú mocninu , kde n je nejaké párne číslo, možno vykonať podľa podmienky g(x)≥0. Vyplýva to z definície odmocniny párneho stupňa: odmocnina párneho stupňa n je nezáporné číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná radikálovému číslu, odkiaľ . Takto vyjadrený prístup je akousi symbiózou metódy umocnenia oboch strán rovnice na rovnakú moc a metódy riešenia iracionálnych rovníc určením koreňa. Teda rovnica , kde n je párne číslo, sa rieši zvýšením oboch strán rovnice na rovnakú párnu mocninu a odstránenie cudzích koreňov sa vykoná podľa podmienky g(x)≥0, prevzatej z metódy riešenia iracionálnych rovníc pomocou určenie koreňa.

Umožňujúci prechod od riešenej rovnice k tzv ekvivalentné rovnice A dôsledkové rovnice, z ktorých riešení je možné určiť riešenie pôvodnej rovnice. V tomto článku budeme podrobne analyzovať, ktoré rovnice sa nazývajú ekvivalentné a ktoré sa nazývajú dôsledkové rovnice, uvedieme zodpovedajúce definície, uvedieme vysvetľujúce príklady a vysvetlíme, ako nájsť korene rovnice pomocou známych koreňov ekvivalentnej rovnice a rovnice dôsledkov. .

Ekvivalentné rovnice, definícia, príklady

Definujme ekvivalentné rovnice.

Definícia

Ekvivalentné rovnice- to sú rovnice, ktoré majú rovnaké korene alebo nemajú korene.

Významovo rovnaké, ale mierne odlišné formulácie sú uvedené v rôznych učebniciach matematiky, napr.

Definícia

Nazývajú sa dve rovnice f(x)=g(x) a r(x)=s(x). ekvivalent, ak majú rovnaké korene (alebo najmä ak obe rovnice nemajú korene).

Definícia

Rovnice, ktoré majú rovnaké korene, sa nazývajú ekvivalentné rovnice. Rovnice, ktoré nemajú korene, sa tiež považujú za ekvivalentné.

Tými istými koreňmi sa myslí toto: ak je nejaké číslo koreňom jednej z ekvivalentných rovníc, potom je tiež koreňom ktorejkoľvek inej z týchto rovníc a žiadna z ekvivalentných rovníc nemôže mať koreň, ktorý nie je koreň ktorejkoľvek z týchto rovníc.

Uveďme príklady ekvivalentných rovníc. Napríklad tri rovnice 4 x = 8, 2 x = 4 a x = 2 sú ekvivalentné. V skutočnosti má každý z nich jeden koreň 2, takže sú z definície ekvivalentné. Ďalší príklad: dve rovnice x·0=0 a 2+x=x+2 sú ekvivalentné, množiny ich riešení sa zhodujú: koreňom prvej aj druhej z nich je ľubovoľné číslo. Dve rovnice x=x+5 a x 4 =−1 sú tiež príkladmi ekvivalentných rovníc, obe nemajú reálne riešenia.

Na dokončenie obrazu stojí za to uviesť príklady nerovnakých rovníc. Napríklad rovnice x=2 a x 2 =4 nie sú ekvivalentné, pretože druhá rovnica má koreň −2, ktorý nie je koreňom prvej rovnice. Rovnice a tiež nie sú ekvivalentné, pretože korene druhej rovnice sú ľubovoľné čísla a číslo nula nie je koreňom prvej rovnice.

Uvedená definícia ekvivalentných rovníc platí pre rovnice s jednou premennou aj rovnice s veľkým počtom premenných. Avšak pre rovnice s dvoma, tromi atď. premenných, slovo „korene“ v definícii treba nahradiť slovom „riešenia“. takže,

Definícia

Ekvivalentné rovnice- sú to rovnice, ktoré majú rovnaké riešenia alebo ich nemajú.

Ukážme si príklad ekvivalentných rovníc s viacerými premennými. x 2 +y 2 +z 2 =0 a 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - tu je príklad ekvivalentných rovníc s tromi premennými x, y a z, obe majú jedinečné riešenie (0, 0 , 0). Ale rovnice s dvoma premennými x+y=5 a x·y=1 nie sú ekvivalentné, pretože napríklad dvojica hodnôt x=2, y=3 je riešením prvej rovnice (pri dosadení týchto hodnôt ​​do prvej rovnice dostaneme správnu rovnosť 2+3=5, ale nie je riešením druhej (pri dosadení týchto hodnôt do druhej rovnice dostaneme nesprávnu rovnosť 2·3=1).

Rovnice dôsledkov

Tu sú definície dôsledkových rovníc zo školských učebníc:

Definícia

Ak je každý koreň rovnice f(x)=g(x) zároveň koreňom rovnice p(x)=h(x), potom sa rovnica p(x)=h(x) nazýva dôsledkom rovnice f(x)=g(x) .

Definícia

Ak sú všetky korene prvej rovnice koreňmi druhej rovnice, potom sa nazýva druhá rovnica dôsledkom prvá rovnica.

Uveďme pár príkladov dôsledkových rovníc. Rovnica x 2 =3 2 je dôsledkom rovnice x−3=0. V skutočnosti má druhá rovnica jediný koreň x=3, tento koreň je tiež koreňom rovnice x 2 =3 2, preto podľa definície je rovnica x 2 =3 2 dôsledkom rovnice x−3= 0. Ďalší príklad: rovnica (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 je dôsledkom rovnice , keďže všetky korene druhej rovnice (sú dva, sú to 2 a 3) sú zjavne koreňmi prvej rovnice.

Z definície dôsledkovej rovnice vyplýva, že absolútne každá rovnica je dôsledkom akejkoľvek rovnice, ktorá nemá korene.

Stojí za to uviesť niekoľko celkom zjavných dôsledkov z definície ekvivalentných rovníc a definície dôsledkovej rovnice:

• Ak sú dve rovnice ekvivalentné, potom každá z nich je dôsledkom druhej.
• Ak je každá z dvoch rovníc dôsledkom tej druhej, potom sú tieto rovnice ekvivalentné.
• Dve rovnice sú ekvivalentné vtedy a len vtedy, ak je každá z nich dôsledkom druhej.

Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.

Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; vyd. A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Školstvo, 2010.- 368 s.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.