Sono un fisico teorico di formazione, ma ho un buon background matematico. Nel programma del master una delle materie era la filosofia; era necessario scegliere un argomento e presentare una relazione su di esso. Dato che la maggior parte delle opzioni erano state discusse più di una volta, ho deciso di scegliere qualcosa di più esotico. Non pretendo di essere nuovo, sono solo riuscito ad accumulare tutta/quasi tutta la letteratura disponibile su questo argomento. Filosofi e matematici possono lanciarmi pietre, sarò grato solo alle critiche costruttive.

PS Un linguaggio molto “secco”, ma abbastanza leggibile dopo un curriculum universitario. Per la maggior parte, le definizioni dei paradossi sono state prese da Wikipedia (formulazione semplificata e markup TeX già pronto).

introduzione

Sia la stessa teoria degli insiemi che i paradossi ad essa inerenti sono apparsi non molto tempo fa, poco più di cento anni fa. Tuttavia, durante questo periodo è stata fatta molta strada; la teoria degli insiemi, in un modo o nell'altro, è diventata effettivamente la base della maggior parte dei rami della matematica. I suoi paradossi associati all'infinito di Cantor furono spiegati con successo letteralmente in mezzo secolo.

Dovremmo iniziare con una definizione.

Cos'è una moltitudine? La domanda è abbastanza semplice, la risposta è abbastanza intuitiva. Un insieme è un certo insieme di elementi rappresentati da un singolo oggetto. Cantor nella sua opera Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre dà una definizione: per “insieme” intendiamo la connessione in un certo insieme M di certi oggetti m chiaramente distinguibili della nostra contemplazione o del nostro pensiero (che chiameremo “elementi” dell’insieme M). Come vediamo, l'essenza non è cambiata, la differenza è solo in quella parte che dipende dalla visione del mondo del determinante. La storia della teoria degli insiemi, sia in logica che in matematica, è molto contraddittoria. In effetti, fu iniziato da Cantor nel 19° secolo, poi Russell e altri continuarono il lavoro.

Paradossi (logica e teoria degli insiemi) - (greco - inaspettato) - contraddizioni logiche formali che sorgono nella teoria degli insiemi significativa e nella logica formale pur mantenendo la correttezza logica del ragionamento. I paradossi sorgono quando due proposizioni reciprocamente esclusive (contraddittorie) risultano ugualmente dimostrabili. I paradossi possono apparire entrambi all'interno teoria scientifica, e nel ragionamento ordinario (ad esempio, la parafrasi di Russell del suo paradosso sull'insieme di tutti gli insiemi normali: "Il barbiere del villaggio rade tutti quelli e solo quegli abitanti del suo villaggio che non si radono da soli. Dovrebbe radersi da solo?"). Poiché una contraddizione logica formale distrugge il ragionamento come mezzo per scoprire e dimostrare la verità (in una teoria in cui appare un paradosso, qualsiasi frase, sia vera che falsa, è dimostrabile), sorge il compito di identificare le fonti di tali contraddizioni e trovare modi per eliminarli. Problema comprensione filosofica soluzioni concrete ai paradossi è uno degli importanti problemi metodologici della logica formale e dei fondamenti logici della matematica.

Lo scopo di questo lavoro è studiare i paradossi della teoria degli insiemi come eredi di antiche antinomie e le conseguenze completamente logiche del passaggio a un nuovo livello di astrazione: l'infinito. Il compito è considerare i principali paradossi e la loro interpretazione filosofica.

Paradossi fondamentali della teoria degli insiemi

Il barbiere rade solo le persone che non si radono da sole. Si rade da solo?

Continuiamo con una breve escursione nella storia.

Alcuni paradossi logici sono noti fin dall'antichità, ma poiché la teoria matematica era limitata all'aritmetica e alla geometria, era impossibile correlarli con la teoria degli insiemi. Nel XIX secolo la situazione cambiò radicalmente: Cantor raggiunse un nuovo livello di astrazione nelle sue opere. Introdusse il concetto di infinito, creando così una nuova branca della matematica e consentendo così il confronto di diversi infiniti utilizzando il concetto di “potenza di un insieme”. Tuttavia, così facendo, ha dato origine a molti paradossi. Il primo è il cosiddetto Paradosso Burali-Forti. Nella letteratura matematica esistono varie formulazioni basate su terminologie diverse e su un presunto insieme di teoremi conosciuti. Ecco una delle definizioni formali.

Si può dimostrare che se x è un insieme arbitrario di numeri ordinali, allora l'insieme somma è un numero ordinale maggiore o uguale a ciascuno degli elementi X. Supponiamo ora che sia l'insieme di tutti i numeri ordinali. Allora è un numero ordinale maggiore o uguale a uno qualsiasi dei numeri in . Ma allora e è un numero ordinale, ed è già strettamente maggiore, e quindi non uguale a nessuno dei numeri in . Ma ciò contraddice la condizione secondo la quale: l'insieme di tutti i numeri ordinali.

L'essenza del paradosso è che con la formazione dell'insieme di tutti i numeri ordinali si forma un nuovo tipo ordinale, che non era ancora tra "tutti" i numeri ordinali transfiniti che esistevano prima della formazione dell'insieme di tutti i numeri ordinali. Questo paradosso fu scoperto dallo stesso Cantor, scoperto e pubblicato indipendentemente dal matematico italiano Burali-Forti, gli errori di quest'ultimo furono corretti da Russell, dopo di che la formulazione acquisì la sua forma finale.

Tra tutti i tentativi di evitare tali paradossi e, in una certa misura, di cercare di spiegarli, l'idea del già citato Russell merita la massima attenzione. Ha proposto di escludere dalla matematica e dalla logica le frasi impredicative in cui la definizione di un elemento di un insieme dipende da quest'ultimo, il che provoca paradossi. La regola è questa: “nessun insieme C può contenere elementi m che sono definiti solo in termini di insieme C, così come elementi n che presuppongono questo insieme nella loro definizione”. Una tale restrizione sulla definizione di insieme consente di evitare paradossi, ma allo stesso tempo restringe significativamente l'ambito della sua applicazione in matematica. Inoltre, questo non basta per spiegare la loro natura e le ragioni della loro comparsa, radicate nella dicotomia tra pensiero e linguaggio, nelle caratteristiche della logica formale. In una certa misura, questa limitazione può essere ricondotta a un’analogia con quella che successivamente gli psicologi cognitivi e i linguisti iniziarono a chiamare “categorizzazione di livello base”: la definizione è ridotta al concetto più semplice da comprendere e studiare.

Supponiamo che esista l'insieme di tutti gli insiemi. In questo caso è vero , cioè ogni insieme t è un sottoinsieme di V. Ma da ciò consegue che la potenza di qualsiasi insieme non supera la potenza di V. Ma in virtù dell'assioma dell'insieme di tutti sottoinsiemi, per V, come ogni insieme, esiste un insieme di tutti i sottoinsiemi , e per il teorema di Cantor, che contraddice l'affermazione precedente. Di conseguenza, V non può esistere, il che contraddice l'ipotesi “ingenua” secondo cui qualsiasi condizione logica sintatticamente corretta definisce un insieme, cioè che per qualsiasi formula A che non contenga y sia libera. Una prova notevole dell'assenza di tali contraddizioni basata sulla teoria assiomatizzata degli insiemi di Zermelo-Fraenkel è data da Potter.

Entrambi i paradossi di cui sopra sono, da un punto di vista logico, identici a “Il Bugiardo” o “Il Barbiere”: il giudizio espresso è rivolto non solo a qualcosa di oggettivo in relazione a lui, ma anche a se stesso. Tuttavia, dovresti prestare attenzione non solo al lato logico, ma anche al concetto di infinito, che è presente qui. La letteratura fa riferimento all’opera di Poincaré, in cui scrive: “la fede nell’esistenza dell’infinito attuale... rende necessarie queste definizioni non predicative”.
In generale i punti principali sono:

• in questi paradossi viene violata la regola di separare nettamente le “sfere” del predicato e del soggetto; il grado di confusione è vicino alla sostituzione di un concetto con un altro;
• Di solito nella logica si presume che nel processo di ragionamento soggetto e predicato mantengano il loro volume e contenuto, ma in questo caso accade
  passaggio da una categoria all'altra, con conseguente incoerenza;
• la presenza della parola “tutti” ha senso per un numero finito di elementi, ma nel caso di un numero infinito di elementi è possibile averne uno che
  definire se stessi richiederà la definizione di un insieme;
• vengono violate le leggi logiche fondamentali:
  • la legge dell'identità è violata quando si rivela la non identità del soggetto e del predicato;
  • la legge di contraddizione - quando due giudizi contraddittori vengono derivati ​​con lo stesso diritto;
  • la legge del terzo escluso - quando questo terzo deve essere riconosciuto, e non escluso, poiché né il primo né il secondo possono essere riconosciuti senza l'altro, perché risultano ugualmente legittimi.

Il terzo paradosso prende il nome da Russell. Di seguito viene fornita una definizione.
Sia K l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento. K contiene se stesso come elemento? Se sì, allora per definizione di K non dovrebbe essere un elemento di K: una contraddizione. Altrimenti, per definizione di K, dovrebbe essere un elemento di K: ancora una contraddizione. Questa affermazione deriva logicamente dal paradosso di Cantor, che mostra la loro relazione. Tuttavia, l’essenza filosofica si manifesta in modo più chiaro, poiché l’“automovimento” dei concetti avviene proprio “davanti ai nostri occhi”.

Il paradosso di Tristram Shandy:
In La vita e le opinioni di Tristram Shandy, Gentleman di Sterne, l'eroe scopre che gli ci è voluto un anno intero per raccontare gli eventi del primo giorno della sua vita, e un altro anno per descrivere il secondo giorno. A questo proposito, l'eroe si lamenta del fatto che il materiale della sua biografia si accumulerà più velocemente di quanto possa elaborarlo e non sarà mai in grado di completarlo. “Ora io affermo”, obietta Russell, “che se fosse vissuto per sempre e il suo lavoro non fosse diventato un peso per lui, anche se la sua vita avesse continuato ad essere ricca di eventi come all’inizio, allora nessuna delle parti della sua biografia non sarebbe rimasta non scritta”.
In effetti, Shandy potrebbe descrivere gli eventi dell'ennesimo giorno dopo ennesimo anno e così, ogni giorno sarebbe stato catturato nella sua autobiografia.

In altre parole, se la vita durasse per sempre, avrebbe tanti anni quanti giorni.

Russell traccia un'analogia tra questo romanzo e Zeno e la sua tartaruga. Secondo lui la soluzione sta nel fatto che il tutto equivale alla sua parte nell'infinito. Quelli. Solo l’“assioma del buon senso” porta alla contraddizione. Tuttavia, la soluzione al problema si trova nel campo della matematica pura. Ovviamente ci sono due insiemi - anni e giorni, tra i quali viene stabilita una corrispondenza uno a uno - una biiezione. Quindi, data la vita infinita del personaggio principale, esistono due insiemi infiniti di uguale potenza, il che, se consideriamo la potenza come una generalizzazione del concetto di numero di elementi di un insieme, risolve il paradosso.

Il paradosso di Banach-Tarski (teorema) o il paradosso del raddoppio della palla- un teorema di teoria degli insiemi secondo cui una palla tridimensionale equivale a due delle sue copie.
Due sottoinsiemi dello spazio euclideo si dicono equamente composti se uno può essere diviso in un numero finito di parti, spostandole, e il secondo può essere composto da esse.
Più precisamente, due insiemi A e B sono equamente composti se possono essere rappresentati come un'unione finita di sottoinsiemi disgiunti tali che per ogni i il sottoinsieme sia congruente.

Se usiamo il teorema della selezione, la definizione suona così:
L'assioma della scelta implica che esiste una partizione della superficie della sfera unitaria in un numero finito di parti, le quali, mediante trasformazioni dello spazio euclideo tridimensionale che non modificano la forma di queste componenti, possono essere assemblate in due sfere di raggio unitario.

Ovviamente, dato il requisito che queste parti siano misurabili, questa affermazione non è fattibile. Il famoso fisico Richard Feynman nella sua biografia raccontò come un tempo riuscì a vincere una disputa sulla rottura di un'arancia in un numero finito di parti e sul rimontarla.

In certi punti questo paradosso viene utilizzato per confutare l'assioma della scelta, ma il problema è che ciò che consideriamo geometria elementare non ha importanza. Quei concetti che consideriamo intuitivi devono essere estesi al livello delle proprietà delle funzioni trascendentali.

Per indebolire ulteriormente la fiducia di chi ritiene errato l’assioma della scelta, vale la pena citare il teorema di Mazurkiewicz e Sierpinski, il quale afferma che esiste un sottoinsieme non vuoto E del piano euclideo che ha due sottoinsiemi disgiunti, ciascuno dei quali possono essere partizionati in un numero finito di parti, così da poter essere tradotti per isometrie in un rivestimento dell’insieme E.
In questo caso la dimostrazione non richiede l’uso dell’assioma della scelta.
Ulteriori costruzioni basate sull'assioma di certezza forniscono una soluzione al paradosso di Banach-Tarski, ma non sono di tale interesse.

• Il paradosso di Richard: devi nominare "il numero più piccolo non menzionato in questo libro". La contraddizione è che da un lato questo è possibile, poiché in questo libro viene menzionato il numero più piccolo. Sulla base di ciò, possiamo nominare il più piccolo senza nome. Ma qui sorge un problema: il continuo non è numerabile; tra due numeri qualsiasi si possono inserire infiniti numeri intermedi; D'altra parte, se potessimo nominare questo numero, passerebbe automaticamente dalla classe di quelli non menzionati nel libro alla classe di quelli menzionati.
• Il paradosso di Grelling-Nilsson: parole o segni possono denotare qualsiasi proprietà e allo stesso tempo possederla o meno. La formulazione più banale suona così: la parola “eterologico” (che significa “non applicabile a se stessi”), è eterologica?.. Molto simile al paradosso di Russell per la presenza di una contraddizione dialettica: la dualità di forma e contenuto è violato. Nel caso di parole che hanno un alto livello di astrazione, è impossibile decidere se queste parole siano eterologhe.
• Il paradosso di Skolem: utilizzando il teorema di Gödel sulla completezza e il teorema di Löwenheim-Skolem, troviamo che la teoria assiomatica degli insiemi rimane vera anche quando si assume (disponibile) solo una raccolta numerabile di insiemi per la sua interpretazione. Allo stesso tempo
  la teoria assiomatica include il già citato teorema di Cantor, che ci porta a innumerevoli insiemi infiniti.

Risoluzione dei paradossi

La creazione della teoria degli insiemi ha dato origine a quella che è considerata la terza crisi della matematica, che non è stata ancora risolta in modo soddisfacente per tutti.
Storicamente, il primo approccio è stato quello della teoria degli insiemi. Si basava sull'uso dell'infinito attuale, quando si credeva che qualsiasi sequenza infinita si completasse all'infinito. L'idea era che nella teoria degli insiemi spesso si aveva a che fare con insiemi che potevano far parte di altri insiemi più grandi. Le azioni riuscite in questo caso erano possibili solo in un caso: gli insiemi dati (finiti e infiniti) erano completati. Un certo successo era evidente: la teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, l'intera scuola di matematica di Nicolas Bourbaki, che esiste da più di mezzo secolo e suscita ancora molte critiche.

Il Logicismo fu un tentativo di ridurre tutta la matematica conosciuta ai termini dell’aritmetica, e poi di ridurre i termini dell’aritmetica ai concetti della logica matematica. Frege lo ha affrontato da vicino, ma dopo aver terminato il lavoro sull'opera, è stato costretto a sottolineare la sua incoerenza dopo che Russell ha sottolineato le contraddizioni nella teoria. Lo stesso Russell, come accennato in precedenza, cercò di eliminare l’uso delle definizioni impredicative con l’aiuto della “teoria dei tipi”. Tuttavia, i suoi concetti di insieme e infinito, così come l'assioma di riducibilità, si rivelarono illogici. Il problema principale era che non venivano prese in considerazione le differenze qualitative tra la logica formale e quella matematica, così come la presenza di concetti non necessari, compresi quelli di natura intuitiva.
Di conseguenza, la teoria del Logicismo non è stata in grado di eliminare le contraddizioni dialettiche dei paradossi associati all’infinito. C'erano solo principi e metodi che consentivano di eliminare almeno le definizioni non predicative. Secondo lui, Russell era l'erede di Cantor

Tra la fine del XIX e l'inizio del XX secolo. La diffusione del punto di vista formalistico sulla matematica fu associata allo sviluppo del metodo assiomatico e del programma per dimostrare la matematica proposto da D. Hilbert. L'importanza di questo fatto è indicata dal fatto che il primo dei ventitré problemi che pose alla comunità matematica era il problema dell'infinito. La formalizzazione era necessaria per dimostrare la coerenza della matematica classica, “escludendo da essa ogni metafisica”. Considerando i mezzi e i metodi utilizzati da Hilbert, il suo obiettivo si rivelò fondamentalmente impossibile, ma il suo programma ebbe un'enorme influenza su tutto il successivo sviluppo dei fondamenti della matematica. Hilbert lavorò a lungo su questo problema, costruendo inizialmente l'assiomatica della geometria. Poiché la soluzione del problema ebbe un discreto successo, decise di applicare il metodo assiomatico alla teoria dei numeri naturali. Ecco cosa scrive al riguardo: “Sto perseguendo un obiettivo importante: sono io che vorrei liberarmi delle questioni di giustificazione della matematica in quanto tale, trasformando ogni enunciato matematico in una formula rigorosamente deducibile”. Si prevedeva di eliminare l'infinito riducendolo a un certo numero finito di operazioni. Per fare questo, si è rivolto alla fisica con il suo atomismo per mostrare l'incoerenza delle quantità infinite. Hilbert, infatti, sollevava la questione del rapporto tra teoria e realtà oggettiva.

Un'idea più o meno completa dei metodi finiti è data dallo studente di Hilbert J. Herbran. Per ragionamento finito intende un ragionamento che soddisfa le seguenti condizioni: paradossi logici: viene sempre considerato solo un numero finito e definito di oggetti e funzioni;

Le funzioni hanno una definizione precisa, e questa definizione ci permette di calcolarne il valore;

Non si afferma mai: “Questo oggetto esiste”, a meno che non si sappia come costruirlo;

L'insieme di tutti gli oggetti X di una qualsiasi collezione infinita non viene mai considerato;

Se è noto che qualche ragionamento o teorema è vero per tutti questi X, ciò significa che questo ragionamento generale può essere ripetuto per ogni X specifico, e questo stesso ragionamento generale dovrebbe essere considerato solo come un esempio per lo svolgimento di tale ragionamento specifico. "

Tuttavia, al momento della sua ultima pubblicazione in quest'area, Gödel aveva già ricevuto i suoi risultati, in sostanza, aveva nuovamente scoperto e confermato la presenza della dialettica nel processo cognitivo. In sostanza ulteriori sviluppi la matematica dimostrò l'incoerenza del programma di Hilbert.

Cosa dimostrò esattamente Gödel? Si possono individuare tre risultati principali:

1. Gödel dimostrò l'impossibilità di una prova matematica della coerenza di qualsiasi sistema abbastanza grande da includere tutta l'aritmetica, una prova che non utilizzasse altre regole di inferenza oltre a quelle del sistema dato stesso. Una dimostrazione di questo tipo, che utilizza una regola di inferenza più potente, può essere utile. Ma se queste regole di inferenza sono più forti dei mezzi logici del calcolo aritmetico, allora non ci sarà fiducia nella coerenza delle ipotesi utilizzate nella dimostrazione. In ogni caso, se i metodi utilizzati non fossero finitistici, il programma di Hilbert risulterà irrealizzabile. Gödel mostra proprio l'inconsistenza dei calcoli per trovare una prova finitista della coerenza dell'aritmetica.
2. Gödel ha sottolineato i limiti fondamentali delle capacità del metodo assiomatico: il sistema Principia Mathematica, come qualsiasi altro sistema con l'aiuto del quale viene costruita l'aritmetica, è essenzialmente incompleto, cioè per qualsiasi sistema coerente di assiomi aritmetici esistono veri assiomi aritmetici frasi che non derivano dagli assiomi di questo sistema.
3. Il teorema di Gödel mostra che nessuna estensione di un sistema aritmetico può renderlo completo, e anche se lo riempiamo con un numero infinito di assiomi, allora in nuovo sistema Ci saranno sempre posizioni vere ma non deducibili attraverso questo sistema. L'approccio assiomatico all'aritmetica dei numeri naturali non è in grado di coprire l'intero campo dei veri giudizi aritmetici, e ciò che comprendiamo per processo di dimostrazione matematica non si riduce all'uso del metodo assiomatico. Dopo il teorema di Gödel divenne inutile aspettarsi che il concetto di dimostrazione matematica convincente potesse essere dato una volta per tutte in forme definite.

L’ultimo di questa serie di tentativi di spiegare la teoria degli insiemi è stato l’intuizionismo.

Ha attraversato una serie di fasi nella sua evoluzione: semi-intuizionismo, intuizionismo reale, ultra-intuizionismo. In fasi diverse, i matematici si sono occupati di problemi diversi, ma uno dei problemi principali della matematica è il problema dell'infinito. I concetti matematici di infinito e continuità sono serviti come soggetto analisi filosofica dal momento della loro comparsa (idee degli atomisti, aporia di Zenone di Elea, metodi infinitesimali nell'antichità, calcolo infinitesimale nei tempi moderni, ecc.). La più grande controversia è stata causata dall'uso vari tipi infinito (potenziale, attuale) come oggetti matematici e loro interpretazione. Tutti questi problemi, a nostro avviso, sono stati generati da un problema più profondo, ovvero il ruolo del soggetto conoscenza scientifica. Il fatto è che lo stato di crisi della matematica è generato dall'incertezza epistemologica della misurazione del mondo dell'oggetto (infinito) e del mondo del soggetto. Il matematico come soggetto ha l'opportunità di scegliere i mezzi di cognizione: l'infinito potenziale o reale. L'uso dell'infinito potenziale come divenire gli dà l'opportunità di realizzare, costruire un numero infinito di costruzioni che possono essere edificate sopra quelle finite, senza avere un passaggio finale, senza completare la costruzione, è solo possibile. L'uso dell'infinito attuale gli dà l'opportunità di lavorare con l'infinito come già realizzabile, compiuto nella sua costruzione, come allo stesso tempo dato di fatto.

Nella fase del semi-intuizionismo, il problema dell'infinito non era ancora indipendente, ma era intrecciato con il problema della costruzione di oggetti e metodi matematici per la sua giustificazione. Il semi-intuizionismo di A. Poincaré e dei rappresentanti della scuola parigina della teoria delle funzioni di Baer, ​​Lebesgue e Borel era diretto contro l'accettazione dell'assioma della libera scelta, con l'aiuto del quale viene dimostrato il teorema di Zermelo, che affermò che qualsiasi insieme può essere reso completamente ordinato, ma senza indicare un metodo teorico per determinare gli elementi di qualsiasi sottoinsieme delle moltitudini desiderate. Non esiste un modo per costruire un oggetto matematico e non esiste un oggetto matematico stesso. I matematici credevano che la presenza o l'assenza di un metodo teorico per costruire una sequenza di oggetti di ricerca potesse servire come base per giustificare o confutare questo assioma. Nella versione russa, il concetto semi-intuizionistico nei fondamenti filosofici della matematica è stato sviluppato in una direzione come l'efficienza, sviluppata da N.N. Luzin. L'efficienza è un'opposizione alle principali astrazioni della dottrina dell'insieme infinito di Cantor: realtà, scelta, induzione transfinita, ecc.

Per l’efficientismo, le astrazioni epistemologicamente più preziose sono l’astrazione della fattibilità potenziale rispetto all’astrazione dell’infinito reale. Grazie a ciò diventa possibile introdurre il concetto di ordinali transfiniti (numeri ordinali infiniti) basato sul concetto effettivo di crescita di funzioni. L'impianto epistemologico dell'efficientismo per rappresentare il continuo (continuum) si basava sui mezzi discreti (aritmetica) e sulla teoria descrittiva degli insiemi (funzioni) creata da N.N Luzin. L'intuizionismo dell'olandese L.E.Ya Brouwer, G. Weil, A. Heyting vede sequenze di vario tipo in libera evoluzione come oggetto di studio tradizionale. In questa fase, risolvendo i problemi matematici veri e propri, inclusa la ristrutturazione di tutta la matematica su nuove basi, gli intuizionisti sollevarono la questione filosofica del ruolo del matematico come soggetto cognitivo. Qual è la sua posizione dove è più libero e attivo nella scelta dei mezzi di conoscenza? Gli intuizionisti furono i primi (e nella fase del semi-intuizionismo) a criticare il concetto di infinito attuale, la teoria degli insiemi di Cantor, vedendo in essa una violazione della capacità del soggetto di influenzare il processo di ricerca scientifica di una soluzione a un problema costruttivo . Nel caso dell'uso dell'infinito potenziale, il soggetto non si illude, poiché per lui l'idea dell'infinito potenziale è intuitivamente molto più chiara dell'idea dell'infinito reale. Per un intuizionista, un oggetto è considerato esistente se viene dato direttamente al matematico o se è noto il metodo della sua costruzione o costruzione. In ogni caso, il soggetto può iniziare il processo di completamento di una serie di elementi del suo set. Per gli intuizionisti un oggetto non costruito non esiste. Allo stesso tempo, un soggetto che lavora con l’infinito attuale sarà privato di questa opportunità e sentirà la doppia vulnerabilità della posizione adottata:

1) questa costruzione infinita non potrà mai essere realizzata;
2) decide di operare con l'infinito attuale come oggetto finito e in questo caso perde la specificità del concetto di infinito. L'intuizionismo limita deliberatamente le capacità di un matematico per il fatto che egli può costruire oggetti matematici esclusivamente attraverso mezzi che, sebbene ottenuti con l'aiuto di concetti astratti, sono efficaci, convincenti, dimostrabili, funzionalmente costruttivi e sono praticamente e intuitivamente chiari come costruzioni , costruzioni, sulla cui affidabilità in pratica non vi sono dubbi. L'intuizionismo, basato sul concetto di infinito potenziale e su metodi di ricerca costruttivi, si occupa della matematica del divenire, la teoria degli insiemi si riferisce alla matematica dell'essere.

Per l'intuizionista Brouwer, in quanto rappresentante dell'empirismo matematico, la logica è secondaria; egli critica essa e la legge del terzo escluso.

Nelle sue opere un po' mistiche, non nega la presenza dell'infinito, ma non ne consente l'attualizzazione, ma solo la potenzializzazione. La cosa principale per lui è l'interpretazione e la giustificazione dei mezzi logici e del ragionamento matematico utilizzati praticamente. La limitazione adottata dagli intuizionisti supera l'incertezza dell'utilizzo del concetto di infinito in matematica ed esprime il desiderio di superare la crisi dei fondamenti della matematica.

L'ultraintuizionismo (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov, ecc.) è l'ultimo stadio di sviluppo dell'intuizionismo, in cui le sue idee principali vengono modernizzate, integrate e trasformate in modo significativo, senza cambiarne l'essenza, ma superando le carenze e rafforzando gli aspetti positivi, guidati dalla criteri di rigore matematico. La debolezza dell'approccio degli intuizionisti era la loro ristretta comprensione del ruolo dell'intuizione come unica fonte di giustificazione per la correttezza e l'efficacia dei metodi matematici. Prendendo la "chiarezza intuitiva" come criterio di verità in matematica, gli intuizionisti hanno impoverito metodologicamente le capacità del matematico come soggetto di cognizione, hanno ridotto la sua attività solo a operazioni mentali basate sull'intuizione e non hanno incluso la pratica nel processo di cognizione matematica. Il programma ultra-intuizionistico per la fondazione della matematica è una priorità russa. Pertanto, i matematici domestici, superando i limiti dell'intuizionismo, hanno accettato la metodologia efficace della dialettica materialista, che riconosce la pratica umana come fonte della formazione sia di concetti matematici che di metodi matematici (inferenze, costruzioni). Gli ultra-intuizionisti hanno risolto il problema dell'esistenza di oggetti matematici, basandosi non più sul concetto soggettivo indefinibile di intuizione, ma sulla pratica matematica e su un meccanismo specifico per costruire un oggetto matematico: un algoritmo espresso da una funzione ricorsiva computabile.

L'ultraintuizionismo esalta i vantaggi dell'intuizionismo, che consistono nella possibilità di ordinare e generalizzare metodi per risolvere problemi costruttivi utilizzati dai matematici di qualsiasi direzione. Pertanto, l'intuizionismo dell'ultimo stadio (ultra-intuizionismo) è vicino al costruttivismo in matematica. Sotto l'aspetto epistemologico, le idee e i principi principali dell'ultra-intuizionismo sono i seguenti: critica dell'assiomatica classica della logica; l'uso e il rafforzamento significativo (su istruzioni esplicite di A.A. Markov) del ruolo dell'astrazione dell'identificazione (astrazione mentale dalle proprietà dissimili degli oggetti e identificazione simultanea delle proprietà comuni degli oggetti) come modo di costruire e comprendere in modo costruttivo concetti astratti e giudizi matematici; prova della coerenza di teorie coerenti. Nell'aspetto formale, l'uso dell'astrazione identificativa è giustificato dalle sue tre proprietà (assiomi) di uguaglianza: riflessività, transitività e simmetria.

Per risolvere la principale contraddizione in matematica riguardo al problema dell'infinito, che ha dato origine a una crisi dei suoi fondamenti, nella fase dell'ultra-intuizionismo nelle opere di A.N. Kolmogorov ha proposto vie d'uscita dalla crisi risolvendo il problema del rapporto tra logica classica e intuizionista, matematica classica e intuizionista. L'intuizionismo di Brouwer generalmente negava la logica, ma poiché qualsiasi matematico non può fare a meno della logica, la pratica del ragionamento logico era ancora preservata nell'intuizionismo, erano consentiti alcuni principi della logica classica, che avevano l'assiomatica come base; S.K. Kleene e R. Wesley notano addirittura che la matematica intuizionistica può essere descritta sotto forma di calcolo, e il calcolo è un modo di organizzare la conoscenza matematica sulla base della logica, della formalizzazione e della sua forma: l'algoritmo. Una nuova versione del rapporto tra logica e matematica nel quadro dei requisiti intuizionistici per la chiarezza intuitiva dei giudizi, in particolare quelli che includevano la negazione, A.N. Kolmogorov propose quanto segue: presentò la logica intuizionistica, strettamente correlata alla matematica intuizionistica, sotto forma di un calcolo minimo implicativo assiomatico di proposizioni e predicati. Pertanto, lo scienziato ha presentato un nuovo modello di conoscenza matematica, superando i limiti dell'intuizionismo nel riconoscere solo l'intuizione come mezzo di conoscenza e i limiti del logica, che assolutizza le possibilità della logica in matematica. Questa posizione ha permesso di dimostrare in forma matematica la sintesi dell'intuitivo e del logico come base della razionalità flessibile e della sua efficacia costruttiva.

Conclusioni. Pertanto, l'aspetto epistemologico della conoscenza matematica ci consente di valutare i cambiamenti rivoluzionari nella fase della crisi dei fondamenti della matematica a cavallo tra il XIX e il XX secolo. da nuove posizioni nella comprensione del processo cognitivo, della natura e del ruolo del soggetto in esso. Il soggetto epistemologico della teoria tradizionale della conoscenza, corrispondente al periodo di predominanza dell'approccio teorico degli insiemi in matematica, è un soggetto astratto, incompleto, “parziale”, presentato in relazioni soggetto-oggetto, separato dalla realtà da astrazioni, logica , formalismo, conoscendo razionalmente, teoricamente il suo oggetto e inteso come uno specchio che riflette e copia accuratamente la realtà. In sostanza, il soggetto era escluso dalla cognizione come processo reale e risultato dell'interazione con un oggetto. L'ingresso dell'intuizionismo nell'arena della lotta tra le tendenze filosofiche in matematica ha portato a una nuova comprensione del matematico come soggetto di conoscenza - una persona che sa, la cui astrazione filosofica deve essere costruita, per così dire, di nuovo. Il matematico appariva come soggetto empirico, inteso come persona reale integrale, comprensiva di tutte quelle proprietà che nel soggetto epistemologico erano astratte: concretezza empirica, variabilità, storicità; è un soggetto attivo e consapevole nella conoscenza reale, un soggetto creativo, intuitivo, inventivo. La filosofia della matematica intuizionista è diventata la base, il fondamento del moderno paradigma epistemologico, costruito sul concetto di razionalità flessibile, in cui una persona è un soggetto integrale (integrale) di cognizione, possedendo nuove qualità cognitive, metodi, procedure; ne sintetizza la natura e la forma astratto-gnoseologica e logico-metodologica, e ne riceve al tempo stesso una comprensione esistenziale-antropologica e “storico-metafisica”.

Un punto importante è anche l'intuizione nella cognizione e, in particolare, nella formazione dei concetti matematici. Ancora una volta c'è una lotta con la filosofia, tentativi di escludere la legge del terzo escluso, in quanto priva di significato in matematica e proveniente dalla filosofia. Tuttavia, la presenza di un'enfasi eccessiva sull'intuizione e la mancanza di chiare giustificazioni matematiche non hanno consentito di trasferire la matematica su solide basi.

Tuttavia, dopo l’emergere del concetto rigoroso di algoritmo negli anni ’30, il costruttivismo matematico ha preso il testimone dall’intuizionismo, i cui rappresentanti hanno dato un contributo significativo alla teoria moderna computabilità. Inoltre, negli anni '70 e '80, furono scoperte connessioni significative tra alcune idee degli intuizionisti (anche quelle che prima sembravano assurde) e la teoria matematica dei topoi. La matematica trovata in alcuni topoi è molto simile a quella che gli intuizionisti hanno cercato di creare.

Di conseguenza, possiamo fare un'affermazione: la maggior parte dei paradossi di cui sopra semplicemente non esistono nella teoria degli insiemi con proprietà di sé. Se tale approccio sia definitivo è una questione controversa che verrà dimostrato da ulteriori lavori in questo settore.

Conclusione

L'analisi dialettico-materialistica mostra che i paradossi sono una conseguenza della dicotomia del linguaggio e del pensiero, un'espressione di profonda dialettica (il teorema di Gödel ha permesso di manifestare la dialettica nel processo cognitivo) e di difficoltà epistemologiche associate ai concetti di soggetto e area tematica nella logica formale, insieme (classe) nella logica e nella teoria degli insiemi, utilizzando il principio di astrazione, che ci consente di introdurre nuovi oggetti (astratti) (infinito), con metodi per definire oggetti astratti nella scienza, ecc. Pertanto, un modo universale non è possibile eliminare tutti i paradossi.

Se la terza crisi della matematica sia finita (perché era in una relazione di causa-effetto con i paradossi; ora i paradossi sono parte integrante) - le opinioni divergono qui, sebbene i paradossi formalmente conosciuti siano stati eliminati nel 1907. Tuttavia, ora in matematica ci sono altre circostanze che possono essere considerate una crisi o un presagio di crisi (ad esempio, la mancanza di una giustificazione rigorosa per l'integrale del percorso).

Per quanto riguarda i paradossi, un ruolo molto importante in matematica è stato svolto dal noto paradosso del bugiardo, nonché da tutta una serie di paradossi della cosiddetta teoria ingenua degli insiemi (precedente assiomatica), che ha causato una crisi dei fondamenti (uno dei questi paradossi hanno avuto un ruolo fatale nella vita di G. Frege). Ma forse uno dei fenomeni più sottovalutati della matematica moderna, che può essere definito sia paradossale che critico, è la soluzione di Paul Cohen al primo problema di Hilbert nel 1963. Più precisamente, non il fatto stesso della decisione, ma la natura di questa decisione.

Letteratura

1. Giorgio Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. IN. Burova. Paradossi della teoria degli insiemi e della dialettica. Scienza, 1976.
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Non ricordo quando ho scoperto per la prima volta la topologia, ma questa scienza mi ha subito interessato. La teiera si trasforma in una ciambella, la sfera si capovolge. Molti ne hanno sentito parlare. Ma chi vuole approfondire questo argomento a un livello più serio spesso incontra difficoltà. Ciò vale soprattutto per padroneggiare i concetti basilari, che sono intrinsecamente molto astratti. Inoltre, molte fonti sembrano cercare deliberatamente di confondere il lettore. Diciamo che il wiki russo fornisce una formulazione molto vaga di ciò che fa la topologia. Dice che questa è una scienza che studia spazi topologici. Nell'articolo sugli spazi topologici, il lettore può apprendere che gli spazi topologici sono spazi dotati di topologia. Tali spiegazioni nello stile dei sepulec di Lemov non chiariscono realmente l'essenza dell'argomento. Cercherò di presentare ulteriormente i principali concetti di base in una forma più chiara. Nel mio appunto non riguarderò la rotazione di teiere e bagel, ma verranno fatti i primi passi che alla fine ti permetteranno di apprendere questa magia.

Tuttavia, poiché non sono un matematico, ma un umanista al 100%, è del tutto possibile che quanto scritto di seguito sia una bugia! Bene, o almeno in parte.

Ho scritto questa nota per la prima volta come inizio di una serie di articoli sulla topologia per i miei amici di discipline umanistiche, ma nessuno di loro ha iniziato a leggerla. Ho deciso di pubblicare la versione corretta ed ampliata su Habr. Mi è sembrato che ci sia un certo interesse per questo argomento e non ci sono mai stati articoli di questo tipo prima. Grazie in anticipo per tutti i commenti su errori e imprecisioni. Ti avverto che utilizzo molte immagini.

Cominciamo con un breve ripasso della teoria degli insiemi. Penso che la maggior parte dei lettori lo conosca, ma ti ricorderò comunque le basi.

Quindi, si ritiene che l'insieme non abbia una definizione e che comprendiamo intuitivamente di cosa si tratta. Cantor disse questo: “Per “insieme” intendiamo la combinazione in un certo insieme M di certi oggetti m chiaramente distinguibili della nostra contemplazione o del nostro pensiero (che chiameremo “elementi” dell’insieme M).” Naturalmente questa è solo una descrizione allegorica e non una definizione matematica.
La teoria degli insiemi è nota (scusate il gioco di parole) per molti paradossi sorprendenti. Per esempio . Ad esso è collegata anche la crisi della matematica dell’inizio del XX secolo.

La teoria degli insiemi esiste in diverse varianti, come ZFC o NBG e altre. Una variante della teoria è la teoria dei tipi, che è piuttosto importante per i programmatori. Infine, alcuni matematici suggeriscono di utilizzare la teoria delle categorie, sulla quale molto è stato scritto su Habré, invece della teoria degli insiemi come fondamento della matematica. La teoria dei tipi e la teoria degli insiemi descrivono gli oggetti matematici come se “dall’interno”, ma la teoria delle categorie non è interessata a loro struttura interna, ma solo come interagiscono, ad es. dà le loro caratteristiche “esterne”.
Per noi sono importanti solo i fondamenti basilari della teoria degli insiemi.

Gli insiemi possono essere finiti.

Sono infiniti. Ad esempio, l'insieme dei numeri interi, che è indicato dalla lettera ℤ (o semplicemente Z se non hai le lettere curve sulla tastiera).

Infine c’è l’insieme vuoto. È esattamente lo stesso in tutto l’Universo. Esiste una semplice prova di questo fatto, ma non la presenterò qui.

Se l'insieme è infinito, succede numerabile. Gli insiemi numerabili sono quegli insiemi i cui elementi possono essere numerati con numeri naturali. Anche l'insieme dei numeri naturali stesso, come hai intuito, è numerabile. Ecco come numerare i numeri interi.

I numeri razionali sono più difficili, ma possono anche essere numerati. Questo metodo si chiama processo diagonale e assomiglia all'immagine qui sotto.

Ci muoviamo a zigzag lungo i numeri razionali, partendo da 1. Allo stesso tempo, assegniamo un numero pari a ciascun numero che otteniamo. I numeri razionali negativi vengono contati allo stesso modo, solo i numeri sono dispari, a partire da 3. Lo zero riceve tradizionalmente il primo numero. È quindi chiaro che tutti i numeri razionali possono essere numerati. Tutti i numeri come 4.87592692976340586068 o 1.00000000000001, o -9092, o anche 42 ottengono il loro numero in questa tabella. Tuttavia, non tutti i numeri rientrano qui. Ad esempio, √2 non riceverà un numero. Questo una volta fece arrabbiare molto i greci. Dicono che il tizio che scoprì i numeri irrazionali sia annegato.

Una generalizzazione del concetto di dimensione per gli insiemi è energia. La cardinalità degli insiemi finiti è uguale al numero dei loro elementi. La cardinalità degli insiemi infiniti è denotata dalla lettera ebraica aleph con un pedice. Il più piccolo potere infinito è il potere ℵ 0 . È uguale alla cardinalità degli insiemi numerabili. Come vediamo, quindi, i numeri naturali sono tanti quanti sono i numeri interi o razionali. Strano ma vero. Il prossimo è il potere continuo. È designato ℵ 1 . Questa è, ad esempio, la potenza dell'insieme dei numeri reali ℝ. C'è un'ipotesi che il potere del continuo e il potere di aleph-one siano la stessa cosa. Quelli. che non esiste alcun potere intermedio tra gli insiemi numerabili e il continuo.

È possibile eseguire varie operazioni sui set e ottenere nuovi set.

1. I set possono essere combinati.

3. Puoi cercare l'intersezione degli insiemi.

In realtà, questo è tutto ciò che devi sapere sui set ai fini di questa nota. Ora possiamo procedere alla topologia stessa.
La topologia è una scienza che studia gli insiemi con una certa struttura. Questa struttura è anche chiamata topologia.
Consideriamo un insieme non vuoto S.
Sia questo insieme una certa struttura, che è descritta da un insieme che chiameremo T. T è un insieme di sottoinsiemi dell'insieme S tali che:

1. S stesso e ∅ appartengono a T.
2. Qualsiasi unione di famiglie arbitrarie di elementi T appartiene a T.
3. Intersezione di arbitrario finale la famiglia di elementi T appartiene a T.

Se questi tre punti sono soddisfatti, allora la nostra struttura è una topologia T sull'insieme S. Gli elementi dell'insieme T sono chiamati aprire insiemi su S nella topologia T. I complementi degli insiemi aperti sono Chiuso moltitudini. È importante notare che solo perché un insieme è aperto non significa che non sia chiuso e viceversa. Inoltre in un dato insieme rispetto ad una certa topologia possono esserci sottoinsiemi né aperti né chiusi.

Facciamo un esempio. Prendiamo un set composto da tre triangoli colorati.

La topologia più semplice su di essa si chiama topologia anti-discreta. Eccola qui.

Questa topologia è anche chiamata topologia punti appiccicosi. È costituito dall'insieme stesso e dall'insieme vuoto. Ciò infatti soddisfa gli assiomi della topologia.

È possibile definire diverse topologie su un set. Ecco un'altra topologia molto primitiva che accade. Si chiama discreto. Questa è una topologia composta da tutti i sottoinsiemi di un dato insieme.

Ed ecco un'altra topologia. È incastonato su un set di 7 stelle multicolori S, che ho indicato con lettere. Assicurati che questa sia la topologia. Non ne sono sicuro, forse mi è sfuggito qualche tipo di unione o intersezione. In questa immagine dovrebbe esserci l'insieme S stesso, l'insieme vuoto, dovrebbero esserci anche le intersezioni e le unioni di tutti gli altri elementi della topologia.

Paio dalla topologia e viene chiamato l'insieme su cui è definita spazio topologico.

Se ci sono molti punti in un insieme (per non parlare del fatto che potrebbero essercene un numero infinito), elencare tutti gli insiemi aperti può essere problematico. Ad esempio, per una topologia discreta su un insieme di tre elementi, è necessario creare un elenco di 8 insiemi. E per un insieme di 4 elementi, la topologia discreta sarà già numero 16, per 5 - 32, per 6 -64 e così via. Per non elencare tutti gli insiemi aperti, viene utilizzata una sorta di notazione abbreviata: vengono scritti quegli elementi le cui unioni possono produrre tutti gli insiemi aperti. È chiamato base topologia. Ad esempio, per una topologia discreta di uno spazio di tre triangoli, questi saranno tre triangoli presi separatamente, perché combinandoli si possono ottenere tutti gli altri insiemi aperti in questa topologia. Si dice che la base generi la topologia. Gli insiemi i cui elementi generano la base sono detti prebase.

Di seguito è riportato un esempio di base per una topologia discreta su un insieme di cinque stelle. Come puoi vedere, in questo caso la base è composta da soli cinque elementi, mentre nella topologia sono presenti ben 32 sottoinsiemi. D'accordo, usare una base per descrivere la topologia è molto più conveniente.

A cosa servono gli open set? In un certo senso danno un'idea della "vicinanza" tra i punti e della differenza tra loro. Se i punti appartengono a due insiemi aperti diversi, o se un punto si trova in un insieme aperto che non contiene il secondo, allora sono topologicamente diversi. Nella topologia antidiscreta, tutti i punti sono indistinguibili in questo senso sembrano essere rimasti uniti; Al contrario, in una topologia discreta Tutto i punti sono diversi.

Indissolubilmente legato al concetto di insieme aperto è il concetto quartiere. Alcuni autori definiscono la topologia non in termini di insiemi aperti, ma in termini di intorni. Un intorno di un punto p è un insieme che contiene una palla aperta centrata in quel punto. Ad esempio, la figura seguente mostra quartieri e non quartieri di punti. L'insieme S 1 è un intorno del punto p, ma l'insieme S 2 non lo è.

La connessione tra insieme aperto e ottestità può essere formulata come segue. Un insieme aperto è un insieme in cui ogni elemento ha un intorno. Oppure, al contrario, possiamo dire che un insieme è aperto se è un intorno di uno qualsiasi dei suoi punti.

Questi sono tutti i concetti più basilari della topologia. Da qui non è ancora chiaro come rovesciare le sfere. Forse in futuro potrò affrontare questo tipo di argomenti (se lo capirò da solo).

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Analisi matematica per manichini. Lezione 1. Set.

Concetto di insieme

Un mucchio diè una raccolta di determinati oggetti. Quali set possono esserci? Innanzitutto, finito o infinito. Ad esempio, un insieme di fiammiferi in una scatola è un insieme finito; possono essere presi e contati. È molto più difficile contare il numero di granelli di sabbia sulla spiaggia, ma in linea di principio è possibile. E questa quantità è espressa da un numero finito. Naturalmente ci sono anche molti granelli di sabbia sulla spiaggia. Ma l’insieme dei punti di una retta è infinito. Poiché, in primo luogo, la linea retta stessa è infinita e su di essa puoi mettere quanti punti vuoi. Anche l'insieme dei punti su un segmento di linea è infinito. Perché in teoria il punto può essere piccolo quanto desiderato. Naturalmente, fisicamente non possiamo disegnare un punto che sia, ad esempio, più piccolo della dimensione di un atomo, ma da un punto di vista matematico il punto non ha dimensione. La sua dimensione è zero. Cosa succede quando dividi un numero per zero? Esatto, infinito. E sebbene l'insieme dei punti su una retta e su un segmento tenda all'infinito, non sono la stessa cosa. Un insieme non è una quantità di qualcosa, ma una raccolta di alcuni oggetti. E solo quegli insiemi che contengono oggetti assolutamente identici sono considerati uguali. Se un insieme contiene gli stessi oggetti di un altro insieme, ma più un altro oggetto “sinistro”, allora questi non sono più insiemi uguali.

Diamo un'occhiata a un esempio. Prendiamo due set. Il primo è la raccolta di tutti i punti su una linea. Il secondo è l'insieme di tutti i punti su un segmento di linea. Perché non sono uguali? Innanzitutto il segmento e la retta potrebbero non intersecarsi nemmeno. Allora non sono certamente uguali, poiché contengono punti completamente diversi. Se si intersecano, hanno un solo punto in comune. Tutti gli altri sono altrettanto diversi. Cosa succede se il segmento giace su una linea retta? Allora tutti i punti del segmento sono anche punti della retta. Ma non tutti i punti di una retta sono punti di un segmento. Quindi in questo caso gli insiemi non possono essere considerati uguali (gli stessi).

Ogni insieme è definito da una regola che determina in modo univoco se un elemento appartiene o meno a questo insieme. Quali potrebbero essere queste regole? Ad esempio, se l'insieme è finito, puoi stupidamente elencare tutti i suoi oggetti. È possibile impostare un intervallo. Ad esempio, tutti i numeri interi da 1 a 10. Anche questo sarà un insieme finito, ma qui non ne elenchiamo gli elementi, ma formuliamo una regola. O disuguaglianza, ad esempio, tutti i numeri maggiori di 10. Questo sarà un insieme infinito, poiché è impossibile nominare il numero più grande - qualunque numero chiamiamo, c'è sempre questo numero più 1.

Di norma, gli insiemi sono designati con lettere maiuscole dell'alfabeto latino A, B, C e così via. Se un insieme è composto da elementi specifici e vogliamo definirlo come un elenco di questi elementi, allora possiamo racchiudere questo elenco tra parentesi graffe, ad esempio A=(a, b, c, d). Se a è un elemento dell'insieme A, allora si scrive come segue: UN Î UN. Se a non è un elemento dell'insieme A, allora scrivi a Ï R. Uno degli insiemi importanti è l'insieme N di tutti i numeri naturali N=(1,2,3,...,) . Esiste anche un insieme speciale, il cosiddetto insieme vuoto, che non contiene un singolo elemento. L'insieme vuoto è indicato dal simbolo Æ .

Definizione 1 (definizione di uguaglianza di insiemi). Imposta UN e B sono uguali se sono costituiti dagli stessi elementi, cioè se xÎ A segue x Î B e viceversa, da x Î B segue x Î A.

Formalmente l’uguaglianza di due insiemi si scrive come segue:

(A=B) := " X (( X Î UN ) Û (X Î B )),

Ciò significa che per ogni oggetto x le relazioni xÎ A e XО B sono equivalenti.

Qui " – quantificatore universale (" Xsi legge "per tutti" X").

Definizione 2 (definizione del sottoinsieme). Un mucchio di UNè un sottoinsieme dell'insieme IN, se presente X appartenente alla moltitudine UN, appartiene al set IN. Formalmente, questo può essere rappresentato come un'espressione:

(UN Ì B) := " X((X Î UN) Þ (X Î B))

Se un Ì B ma A ¹ B, allora A è un sottoinsieme proprio dell’insieme IN. Come esempio possiamo citare ancora una retta e un segmento. Se un segmento giace su una linea, allora l'insieme dei suoi punti è un sottoinsieme dei punti di questa linea. Oppure, un altro esempio. L'insieme dei numeri interi parimente divisibili per 3 è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri interi.

Commento. L'insieme vuoto è un sottoinsieme di qualsiasi insieme.

Imposta operazioni

Sui set sono possibili le seguenti operazioni:

Un'associazione. L'essenza di questa operazione è combinare due insiemi in uno contenente gli elementi di ciascuno degli insiemi combinati. Formalmente appare così:

C=AÈ B: = {x:x Î A o XÎ B}

Esempio. Risolviamo la disuguaglianza | 2 X+ 3 | > 7.

Ne consegue o la disuguaglianza 2x+3 >7, per 2x+3≥0, quindi x>2

o disuguaglianza 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

L'insieme delle soluzioni a questa disuguaglianza è l'unione degli insiemi (-∞,-5) È (2, ∞).

Controlliamo. Calcoliamo il valore dell'espressione | 2 X+ 3 | per più punti che giacciono e non giacciono in un dato intervallo:

X	| 2 X+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

Come puoi vedere, tutto è stato risolto correttamente (gli intervalli di confine sono indicati in rosso).

Intersezione. L'intersezione è l'operazione di creazione di un nuovo insieme da due, contenente elementi inclusi in entrambi questi insiemi. Per visualizzarlo, immaginiamo di avere due insiemi di punti sul piano, vale a dire la figura A e la figura B. La loro intersezione denota la figura C - questo è il risultato dell'operazione di intersezione degli insiemi:

Formalmente l’operazione di intersezione di insiemi si scrive come segue:

C=A ÇB:= (x:x Î A e x О B )

Esempio. Allora facciamo un set C=A ÇB = {5,6,7}

Sottrazione. La sottrazione di insiemi è l'esclusione dal sottraendo di quegli elementi che sono contenuti nel sottraendo e nel sottrattore:

Formalmente, la sottrazione di un insieme si scrive come segue:

A\B:={x:x Î A e XÏ B}

Esempio. Possiamo averne in abbondanza A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Poi C=A\ B = { 1,2,3,4}

Aggiunta. Il complemento è un'operazione unaria (un'operazione non su due, ma su un insieme). Questa operazione è il risultato della sottrazione di un dato insieme dall'insieme universale completo (l'insieme che comprende tutti gli altri insiemi).

A : = (x:x Î U e x Ï A) = U \ A

Graficamente questo può essere rappresentato come:

Differenza simmetrica. Contrariamente alla differenza abituale, nella differenza simmetrica degli insiemi rimangono solo gli elementi presenti nell'uno o nell'altro insieme. Oppure, in termini semplici, è creato da due insiemi, ma ne sono esclusi gli elementi che si trovano in entrambi gli insiemi:

Matematicamente ciò può essere espresso come segue:

UN D B:= (A\B) È ( B\A) = (UN È B) \ (UN Ç B)

Proprietà delle operazioni sugli insiemi.

Dalle definizioni di unione e intersezione di insiemi segue che le operazioni di intersezione e unione hanno le seguenti proprietà:

1. Commutatività.

UN È B=BÈ UN
UNÇ B=BÇ UN

1. Associatività.

(UN È B) È C=AÈ ( B È C)
(UN Ç B) Ç C=AÇ ( B Ç C)

Michail Raskin

La matematica moderna utilizza come base la teoria degli insiemi. Tradizionalmente, quando si analizzano le sottigliezze della teoria degli insiemi, viene utilizzata l'assiomatica di Zermelo-Fraenkel con l'assioma della scelta, indicato con ZFC. L'assioma della scelta viene utilizzato per dimostrare l'esistenza di una base in qualsiasi spazio vettoriale e l'esistenza di un insieme incommensurabile in analisi matematica. Sfortunatamente, la teoria degli insiemi deve funzionare anche con insiemi che non sono descritti in modo sufficientemente dettagliato e specifico da consentirci di immaginarli. Il corso esaminerà un esempio di ciò a cui questo porta. Si scopre che, a costo di indebolire l'assioma della scelta, si può ottenere una teoria degli insiemi in cui qualsiasi funzione limitata su un intervallo è integrabile secondo Lebesgue. Il fatto che venga utilizzato l'assioma della scelta, in un certo senso, è avvenuto storicamente. Il corso si basa su un articolo di R.M. Solovey sulla costruzione di una teoria degli insiemi in cui tutti gli insiemi di numeri reali sono misurabili.

Michail Raskin

Ci sono diverse domande famose nella teoria degli insiemi sul fatto che un assioma implichi un altro assioma (o ipotesi; un assioma è semplicemente un'ipotesi utilizzata dalla stragrande maggioranza). Come in altre aree della matematica, l’indimostrabilità può essere dimostrata utilizzando un modello in cui le ipotesi sono vere ma l’ipotesi non è vera. Per costruire uno degli esempi più famosi, un modello di teoria degli insiemi in cui esiste una potenza intermedia tra le potenze della serie naturale e la retta reale, Cohen ha sviluppato il metodo della forzante.

Ivan Yashchenko

Durante lo sviluppo della teoria degli insiemi, su cui si basa tutta la matematica moderna, sono emersi dei paradossi. Ad esempio, il paradosso del barbiere, formulato come segue: "Un barbiere si rade se rade quelli e solo quelli che non si radono da soli?" L'opuscolo parla di come la teoria degli insiemi affronta tali situazioni, nonché di altri paradossi, compresi quelli che sorgono quando si considera l'assioma della scelta. In particolare, imparerai come trasformare un'arancia in due. Vengono presentati problemi, la cui soluzione indipendente aiuterà il lettore a comprendere più a fondo il materiale. L'opuscolo è destinato a un'ampia gamma di lettori interessati alla matematica: studenti delle scuole superiori, studenti delle scuole medie, insegnanti.

I paradossi sono una conseguenza della dicotomia del linguaggio e del pensiero, un'espressione di profonda dialettica (il teorema di Gödel ha permesso di manifestare la dialettica nel processo cognitivo) e di difficoltà epistemologiche associate ai concetti di soggetto e area tematica nella logica formale, impostata ( classe) nella logica e nella teoria degli insiemi, utilizzando il principio di astrazione , che permette di introdurre in considerazione nuovi oggetti (astratti) (infinito), con metodi per definire oggetti astratti nella scienza, ecc. Pertanto, un modo universale per eliminare tutti i paradossi non può essere dato.

Sei sicuro di avere un'idea precisa dell'infinito? Il carismatico matematico James ti convincerà facilmente del contrario.

Aleksandr Bufetov

Nell'interpretazione standard di Gödel, una formula A indecidibile significa "non esiste derivazione della formula A", cioè afferma la propria irriducibilità nel sistema S. Pertanto, A è un analogo del paradosso del bugiardo. Il ragionamento di Gödel in generale è molto simile al paradosso di Richard. Inoltre, qualsiasi paradosso semantico può essere utilizzato per dimostrare l'esistenza di enunciati non derivabili.

Yuri Lebedev

Quando ho avuto tra le mani una vecchia cartella di cartone, ero già sicuro che non contenesse ritagli di giornale sulla “regina dei campi”, il mais. E non ero affatto sorpreso che la mia fiducia fosse giustificata. La cartella conteneva manoscritti o, più precisamente, bozze di due articoli - "Principi di termodinamica semiotica", "Rifiuto di eccezione" - e un'intera pila di altri, che richiederebbero molto impegno per essere letti. Sui fogli di carta non c'era né il nome dell'autore né la data di scrittura. Molto probabilmente, uno dei “selvaggi” degli anni passati ha dimenticato la cartella. Non potendo comunicare con l'autore, ho deciso di portare alla vostra attenzione la mia versione della trascrizione di uno di questi articoli scritti con estrema negligenza e con una grafia illeggibile.

Vladimir Uspenskij

Se solo gli elementi del portatore possono essere presi come valori variabili, la lingua è chiamata lingua elementare o lingua del primo ordine. Se è consentito assumere anche funzioni e relazioni come valori di variabili, il linguaggio viene chiamato linguaggio del secondo ordine. Le capacità espressive dei linguaggi del primo ordine sono piuttosto limitate. Ad esempio, in una lingua del primo ordine si può dire che un portatore contiene esattamente 17 elementi, ma è impossibile esprimerne la finitezza. In una lingua del secondo ordine è possibile esprimere la finitezza del parlante. Sorge uno sconcerto del tutto naturale: perché allora usare le lingue del primo ordine con i loro scarsi mezzi espressivi Non è meglio usare le lingue del secondo ordine?

Michail Raskin

Sappiamo tutti che la matematica dimostra le implicazioni. In altre parole, non dimostriamo che qualche affermazione è vera, ma che segue dagli assiomi che abbiamo accettato. Ma spesso si sottovaluta quanto l’insieme degli assiomi possa essere modificato. Uno dei concetti base della matematica, che mostra il grado di convenzione nella scelta di uno specifico insieme di assiomi, è il concetto di insieme. All'inizio sembrava del tutto ovvio. Sfortunatamente, questo approccio ha portato a controversie. Successivamente hanno cominciato a svilupparsi diversi modi di lavorare con gli insiemi senza arrivare ai paradossi. Il concetto di insieme è utilizzato in molti rami della matematica, motivo per cui il lavoro con gli insiemi viene solitamente insegnato gradualmente, aggiungendo i fatti pezzo per pezzo come basi naturali ed evidenti, fino a ottenere una teoria chiamata ZFC. Per questo motivo spesso si nasconde sotto il tappeto il fatto che ZFC è solo una delle opzioni possibili e che la sostituzione dei fondamenti della teoria degli insiemi non deve necessariamente rovinare altri rami della matematica. Il corso sarà dedicato a una storia su cosa può essere un problema quando si utilizzano alcuni assiomatici e quanto diverse siano le opzioni. I prerequisiti verranno modificati in base alle conoscenze e agli interessi del pubblico; Spero che le designazioni →, ∀, ∨, ∈, ∈, ∪, ... siano ancora così familiari e familiari a tutti da sembrare erroneamente comprensibili.

Jordana Cepelewicz

Qualsiasi speranza di creare una teoria matematica unificata, un progetto ambizioso proposto dal matematico David Hilbert nel 19° secolo e continuato, ampiamente sostenuto, nel 20° secolo, è stata delusa. I fondamenti della matematica non erano così affidabili come Hilbert avrebbe voluto. E Gödel, con i suoi teoremi, dimostrò chiaramente che qualsiasi sistema di assiomi, per quanto esteso, è vulnerabile all’emergere di lacune irreparabili. I tentativi di compensare creando un sistema più completo darebbero solo luogo a un numero maggiore di affermazioni senza prove, per cui anche in questo caso sarebbe necessario migliorare il sistema, e così via all'infinito. E accadde qualcosa di strano: i matematici decisero di non prestarvi attenzione. Ritenevano che l’incompletezza dei sistemi non avesse un impatto diretto sul loro lavoro.

Definizione 1.Moltiè una raccolta di alcuni oggetti uniti in un tutto secondo alcune caratteristiche.

Gli oggetti che compongono un insieme si chiamano its elementi.

Indicato con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino: UN, B, …, X, Y, ..., e i loro elementi sono designati dalle corrispondenti lettere maiuscole: un, b, …, x, y.

Definizione 1.1. Viene chiamato un insieme che non contiene un singolo elemento vuoto ed è indicato dal simbolo Ø.

Un insieme può essere specificato mediante enumerazione e descrizione.

Esempio:; .

Definizione 1.2. Molti UN chiamato sottoinsieme B, se ogni elemento del set UNè un elemento dell'insieme B. Simbolicamente ciò viene indicato come segue: AB (UN contenuto in B).

Definizione 1.3. Due set UN E B sono chiamati pari, se sono costituiti dagli stessi elementi: ( UN =B).

Operazioni sugli insiemi.

Definizione 1.4. Unione o somma di insiemi UN E Bè un insieme costituito da elementi, ciascuno dei quali appartiene ad almeno uno di questi insiemi.

L'unione degli insiemi si indica con AB(O UN +B). Brevemente possiamo scrivere AB = .

AB= UN +B

Se BA, Quello UN +B=A

Definizione 1.5. Intersezione o prodotto di insiemi UN E Bè un insieme costituito da elementi, ciascuno dei quali appartiene all'insieme UN e molti B contemporaneamente. L'intersezione degli insiemi è indicata da AB(O UN· B). Brevemente possiamo scrivere:

AB = .

AB =UN · B

Se B UN, Quello UN · B=B

Definizione 1.6. Imposta la differenza UN E Bè un insieme, ciascun elemento del quale è un elemento dell'insieme UN e non è un elemento dell'insieme B. La differenza di insieme è indicata da UN\B. A priori UN\B = .

UN\B = UN–B

Vengono chiamati gli insiemi i cui elementi sono numeri numerico.

Esempi di insiemi di numeri sono:

N =- un insieme di numeri naturali.

Z= - insieme di numeri interi.

Q=- insieme di numeri razionali.

R– insieme di numeri reali.

Un mucchio di R contiene numeri razionali e irrazionali. Ogni numero razionale si esprime o come frazione decimale finita o come frazione periodica infinita. Quindi, ;… sono numeri razionali.

Un numero irrazionale è espresso come una frazione decimale non periodica infinita. Quindi, = 1.41421356...; = 3,14159265.... è un numero irrazionale.

K– un insieme di numeri complessi (della forma Z=UN+ bi)

RK

Definizione 1.7.Ɛ ‒ intorno di un punto X 0 è chiamato intervallo simmetrico ( X 0 – Ɛ; X 0 + Ɛ), contenente il punto X 0 .

In particolare, se l'intervallo ( X 0 –Ɛ; X 0 +Ɛ), quindi la disuguaglianza X 0 –Ɛ<X<X 0 +Ɛ, o, che è lo stesso, │ X– X 0 │<Ɛ. Fare quest'ultimo significa centrare il punto X in Ɛ – quartiere del punto X 0 .

Esempio 1:

(2 – 0,1; 2 + 0,1) o (1,9; 2,1) – Ɛ– quartiere.

│X– 2│< 0,1

–0,1<X – 2<0,1

2 –0,1<X< 2 + 0,1

1,9<X< 2,1

Esempio 2:

UN– set di divisori 24;

B– set di divisori 18.