วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ การหาความยาวของเวกเตอร์ ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา วิธีค้นหาความยาวของเวกเตอร์ในสูตรปริภูมิ
12. ความยาวของเวกเตอร์ ความยาวของเซ็กเมนต์ มุมระหว่างเวกเตอร์ เงื่อนไขตั้งฉากของเวกเตอร์
เวกเตอร์ – มันเป็นส่วนที่กำกับซึ่งเชื่อมต่อจุดสองจุดในอวกาศหรือในระนาบเวกเตอร์มักจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวเล็กหรือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด มักจะมีเส้นประที่ด้านบน
ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ที่มีทิศทางจากจุด กตรงประเด็น บี,สามารถกำหนดได้ ก ,
เวกเตอร์ศูนย์ 0 หรือ 0 - นี่คือเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกันคือ ก = บี. จากที่นี่, 0 = – 0 .
ความยาวเวกเตอร์ (โมดูลัส)ก คือความยาวของส่วนที่เป็นตัวแทน AB แสดงโดย |ก | - โดยเฉพาะอย่างยิ่ง | 0 | = 0.
เวกเตอร์ถูกเรียกว่า คอลลิเนียร์หากส่วนที่กำกับอยู่บนเส้นคู่ขนาน เวกเตอร์คอลลิเนียร์ ก และ ข ถูกกำหนด ก || ข .
เรียกเวกเตอร์ตั้งแต่สามตัวขึ้นไป เครื่องบินร่วมหากพวกเขานอนอยู่ในระนาบเดียวกัน
การบวกเวกเตอร์ เนื่องจากเวกเตอร์เป็น กำกับส่วนต่างๆ จึงสามารถดำเนินการบวกได้ ทางเรขาคณิต. (การบวกพีชคณิตของเวกเตอร์อธิบายไว้ด้านล่าง ในย่อหน้า “หน่วยเวกเตอร์มุมฉาก”) เรามาแกล้งทำเป็นว่า
ก = เอบีและ ข = ซีดี,
แล้วเวกเตอร์ __ __
ก + ข = เอบี+ ซีดี
เป็นผลมาจากการดำเนินการสองครั้ง:
ก)การถ่ายโอนแบบขนานเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเพื่อให้จุดเริ่มต้นตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สอง
ข)นอกจากนี้ทางเรขาคณิต, เช่น. การสร้างเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่เริ่มจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์คงที่ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่ถูกถ่ายโอน
การลบเวกเตอร์ การดำเนินการนี้จะลดลงไปเป็นอันก่อนหน้าโดยการแทนที่เวกเตอร์ subtrahend ด้วยอันที่ตรงกันข้าม: ก – ข =ก + (– ข ) .
กฎของการบวก
ฉัน. ก + ข = ข + ก (กฎหมายเปลี่ยนผ่าน).
ครั้งที่สอง (ก + ข ) + ค = ก + (ข + ค ) (กฎหมายผสม).
สาม. ก + 0 = ก .
IV. ก + (– ก ) = 0 .
กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข
ฉัน. 1 · ก = ก , 0 · ก = 0 , ม· 0 = 0 , (– 1) · ก = – ก .
ครั้งที่สอง มก = ก ม,- มก | = | ม | · | ก | .
สาม. ม(นก ) = (ล้าน)ก . (ตามสบายเลย.
กฎการคูณด้วยตัวเลข).
IV. (ม+น) ก = มก +นก , (จำหน่าย
ม(ก + ข ) = มก +มข . กฎการคูณด้วยตัวเลข).
ผลคูณดอทของเวกเตอร์ __ __
มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เอบีและ ซีดี– นี่คือมุมที่เกิดจากเวกเตอร์เมื่อถูกถ่ายโอนแบบขนานจนกระทั่งจุดอยู่ในแนวเดียวกัน กและ C. ผลคูณดอทของเวกเตอร์ก และ ข เรียกว่าเป็นจำนวนเท่ากับ ผลคูณของความยาวและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:
หากเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ ดังนั้นผลคูณสเกลาร์ของพวกมันตามคำจำกัดความจะเท่ากับศูนย์:
(ก, 0 ) = ( 0 , ข ) = 0 .
หากเวกเตอร์ทั้งสองไม่เป็นศูนย์ สูตรจะคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:
ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ( ก , ก ) เท่ากับ | ก - 2 เรียกว่าสเกลาร์สแควร์ ก ความยาวเวกเตอร์
และกำลังสองสเกลาร์สัมพันธ์กันโดย:
- ดอทโปรดัคของเวกเตอร์สองตัว:ในเชิงบวก ถ้าเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์;
- เผ็ดเชิงลบ, ถ้าเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์.
ทื่อ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเท่ากับศูนย์
และเฉพาะเมื่อมุมระหว่างพวกมันเป็นเส้นตรงเท่านั้นนั่นคือ เมื่อเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉาก (ตั้งฉาก): คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ก, ข, ค มและหมายเลขใดๆ
ฉัน. (สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ข ) = (ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถูกต้อง: ) . ข,ก
ครั้งที่สอง (มสำหรับเวกเตอร์ใดๆ ข ) = ม(ก, ข ) .
สาม.((กฎหมายเปลี่ยนผ่าน) ) = (สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ค ) + (ก+ข,ค ค ). ข
(กฎหมายว่าด้วยการจำหน่าย) เวกเตอร์มุมฉากหน่วย ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมใดๆ ที่คุณสามารถป้อนได้หน่วยเวกเตอร์ตั้งฉากตามคู่ , ฉัน เจ และ เค หน่วยเวกเตอร์ตั้งฉากตามคู่ เกี่ยวข้องกับแกนพิกัด: – มีแกน, เอ็กซ์ เกี่ยวข้องกับแกนพิกัด: เจและ ย เค – มีแกนซี
(หน่วยเวกเตอร์ตั้งฉากตามคู่ - ตามคำจำกัดความนี้: ) = (หน่วยเวกเตอร์ตั้งฉากตามคู่ เจ ) = (เอ็กซ์ เจ ) = 0,
| , เค =ฉัน | =- เจ | = 1.
- เค | ก เวกเตอร์ใดๆ ก = สามารถแสดงผ่านเวกเตอร์เหล่านี้ได้ในลักษณะเฉพาะ:x ฉัน+ย เจ+z . เค การบันทึกอีกรูปแบบหนึ่ง: = (ก x, y, z - ที่นี่, x, ย z - พิกัด ก เวกเตอร์ ในระบบพิกัดนี้ ตามความสัมพันธ์สุดท้ายและคุณสมบัติของเวกเตอร์มุมฉากหน่วย เจ ฉัน เจ
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวสามารถแสดงต่างกันได้ ก = (ก); ข = (อนุญาตคุณ วี ว ก, ข ) = - แล้ว ( ซู + ปี.
+zw
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกัน ก = (สามารถแสดงผ่านเวกเตอร์เหล่านี้ได้ในลักษณะเฉพาะ:, ฉัน+, เจ+ ความยาวเวกเตอร์ (โมดูลัส)
) เท่ากับ: นอกจากนี้ตอนนี้เรายังได้มีโอกาสปฏิบัติพีชคณิต
การดำเนินการกับเวกเตอร์ กล่าวคือ การบวกและการลบเวกเตอร์สามารถทำได้โดยใช้พิกัด: + (ข =) ;
ก – + (สามารถแสดงผ่านเวกเตอร์เหล่านี้ได้ในลักษณะเฉพาะ:–x + u, y + v, z + w– คุณ คุณ–วี, ซี) .
ว ผลคูณข้ามของเวกเตอร์ [งานศิลปะของเว็กเตอร์ ข ] ก,ก และข เวกเตอร์
มีอีกสูตรหนึ่งสำหรับความยาวของเวกเตอร์ [ ก, ข ] :
| [ ก, ข ] | = | ก | | ข - บาป( ก, ข ) ,
เช่น. ความยาว ( โมดูล ) ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ก และข เท่ากับผลคูณของความยาว (โมดูล) ของเวกเตอร์เหล่านี้กับไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ความยาว (โมดูลัส) ของเวกเตอร์[ ก, ข ] ตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ ก และข .
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์
ฉัน.เวกเตอร์ [ ก, ข ] ตั้งฉาก (มุมฉาก)เวกเตอร์ทั้งสอง ก เจ ข .
(กรุณาพิสูจน์ด้วย!)
ครั้งที่สอง[ สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ข ] = – [ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถูกต้อง: ] .
สาม. [ มสำหรับเวกเตอร์ใดๆ ข ] = ม[ก, ข ] .
IV. [ (กฎหมายเปลี่ยนผ่าน) ] = [ สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ค ] + [ ก+ข,ค ค ] .
วี. [ สำหรับเวกเตอร์ใดๆ [ ก, ] ] = ข (ก , ค ) – ค (ก, ข ) .
วี. [ [ สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ข ] , ค ] = ข (ก , ค ) – ก (ก, ) .
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความสอดคล้องกัน ก, การบันทึกอีกรูปแบบหนึ่ง: = (ก) และ ข = (อนุญาต) :
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับ coplanarity ก, ก = (ก), ข = (อนุญาต) และ ค = (พี คิว อาร์) :
ตัวอย่าง ให้เวกเตอร์ดังนี้: ก = (1, 2, 3) และ ข = (– 2 , 0 ,4).
คำนวณจุดและผลคูณไขว้และมุม
ระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้
วิธีแก้ปัญหา เราได้รับ:
ก) ผลิตภัณฑ์สเกลาร์:
(ก, ข ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;
ข) สินค้าเวกเตอร์:
| " |
ก่อนอื่น เราต้องเข้าใจแนวคิดของเวกเตอร์ก่อน เพื่อที่จะแนะนำคำจำกัดความของเวกเตอร์เรขาคณิต ให้เราจำไว้ว่าเซกเมนต์คืออะไร ให้เราแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้
คำจำกัดความ 1
ส่วนเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่มีขอบเขตสองจุดในรูปแบบของจุด
กลุ่มสามารถมีได้ 2 ทิศทาง เพื่อระบุทิศทาง เราจะเรียกขอบเขตหนึ่งของส่วนนั้นว่าจุดเริ่มต้น และอีกขอบเขตหนึ่งเรียกว่าจุดสิ้นสุด ทิศทางจะถูกระบุตั้งแต่ต้นจนจบส่วน
คำจำกัดความ 2
เวกเตอร์หรือเซกเมนต์กำกับจะเป็นเซ็กเมนต์ที่ทราบว่าขอบเขตใดของเซกเมนต์ถือเป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด
การกำหนด: เป็นตัวอักษรสองตัว: $\overline(AB)$ – (โดยที่ $A$ เป็นจุดเริ่มต้น และ $B$ เป็นจุดสิ้นสุด)
ในอักษรตัวเล็กตัวหนึ่ง: $\overline(a)$ (รูปที่ 1)
ตอนนี้เราขอแนะนำแนวคิดเรื่องความยาวเวกเตอร์โดยตรง
คำจำกัดความ 3
ความยาวของเวกเตอร์ $\overline(a)$ จะเป็นความยาวของส่วนของ $a$
สัญกรณ์: $|\overline(a)|$
แนวคิดเรื่องความยาวเวกเตอร์มีความเกี่ยวข้อง เช่น กับแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สองตัว
คำจำกัดความที่ 4
เราจะเรียกเวกเตอร์สองตัวที่เท่ากันหากพวกมันตรงตามเงื่อนไขสองประการ: 1. พวกมันเป็นแบบโคไดนามิก; 1. ความยาวเท่ากัน (รูปที่ 2)
เพื่อกำหนดเวกเตอร์ ให้เข้าสู่ระบบพิกัดและกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ในระบบที่ป้อน ดังที่เราทราบ เวกเตอร์ใดๆ สามารถแยกย่อยได้ในรูปแบบ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนจริง และ $\overline (i )$ และ $\overline(j)$ เป็นเวกเตอร์หน่วยบนแกน $Ox$ และ $Oy$ ตามลำดับ
คำจำกัดความที่ 5
เราจะเรียกค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ว่าพิกัดของเวกเตอร์นี้ในระบบพิกัดที่แนะนำ ในทางคณิตศาสตร์:
$\overline(c)=(m,n)$
จะหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร?
เพื่อที่จะได้สูตรสำหรับคำนวณความยาวของเวกเตอร์ใดๆ ตามพิกัดของมัน ให้พิจารณาปัญหาต่อไปนี้:
ตัวอย่างที่ 1
ให้ไว้: เวกเตอร์ $\overline(α)$ พร้อมพิกัด $(x,y)$ ค้นหา: ความยาวของเวกเตอร์นี้
ให้เราแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียน $xOy$ บนเครื่องบิน ให้เราแยก $\overline(OA)=\overline(a)$ ออกจากจุดกำเนิดของระบบพิกัดที่แนะนำ ให้เราสร้างเส้นโครง $OA_1$ และ $OA_2$ ของเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นบนแกน $Ox$ และ $Oy$ ตามลำดับ (รูปที่ 3)
เวกเตอร์ $\overline(OA)$ ที่เราสร้างขึ้นจะเป็นเวกเตอร์รัศมีสำหรับจุด $A$ ดังนั้นมันจะมีพิกัด $(x,y)$ ซึ่งหมายถึง
$=x$, $[OA_2]=y$
ตอนนี้เราสามารถหาความยาวที่ต้องการได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
คำตอบ: $\sqrt(x^2+y^2)$
บทสรุป:ในการค้นหาความยาวของเวกเตอร์ที่มีการระบุพิกัด คุณจะต้องค้นหารากของกำลังสองของผลรวมของพิกัดเหล่านี้
งานตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาระยะห่างระหว่างจุด $X$ ถึง $Y$ ซึ่งมีพิกัดต่อไปนี้: $(-1.5)$ และ $(7.3)$ ตามลำดับ
จุดสองจุดใดๆ สามารถเชื่อมโยงกับแนวคิดของเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาเวกเตอร์ $\overline(XY)$ ดังที่เราทราบอยู่แล้ว พิกัดของเวกเตอร์ดังกล่าวสามารถพบได้โดยการลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้น ($X$) จากพิกัดของจุดสิ้นสุด ($Y$) เราเข้าใจแล้ว
ก่อนอื่น เราต้องเข้าใจแนวคิดของเวกเตอร์ก่อน เพื่อที่จะแนะนำคำจำกัดความของเวกเตอร์เรขาคณิต ให้เราจำไว้ว่าเซกเมนต์คืออะไร ให้เราแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้
คำจำกัดความ 1
ส่วนเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่มีขอบเขตสองจุดในรูปแบบของจุด
กลุ่มสามารถมีได้ 2 ทิศทาง เพื่อระบุทิศทาง เราจะเรียกขอบเขตหนึ่งของส่วนนั้นว่าจุดเริ่มต้น และอีกขอบเขตหนึ่งเรียกว่าจุดสิ้นสุด ทิศทางจะถูกระบุตั้งแต่ต้นจนจบส่วน
คำจำกัดความ 2
เวกเตอร์หรือเซกเมนต์กำกับจะเป็นเซ็กเมนต์ที่ทราบว่าขอบเขตใดของเซกเมนต์ถือเป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด
การกำหนด: เป็นตัวอักษรสองตัว: $\overline(AB)$ – (โดยที่ $A$ เป็นจุดเริ่มต้น และ $B$ เป็นจุดสิ้นสุด)
ในอักษรตัวเล็กตัวหนึ่ง: $\overline(a)$ (รูปที่ 1)
ตอนนี้เราขอแนะนำแนวคิดเรื่องความยาวเวกเตอร์โดยตรง
คำจำกัดความ 3
ความยาวของเวกเตอร์ $\overline(a)$ จะเป็นความยาวของส่วนของ $a$
สัญกรณ์: $|\overline(a)|$
แนวคิดเรื่องความยาวเวกเตอร์มีความเกี่ยวข้อง เช่น กับแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สองตัว
คำจำกัดความที่ 4
เราจะเรียกเวกเตอร์สองตัวที่เท่ากันหากพวกมันตรงตามเงื่อนไขสองประการ: 1. พวกมันเป็นแบบโคไดนามิก; 1. ความยาวเท่ากัน (รูปที่ 2)
เพื่อกำหนดเวกเตอร์ ให้เข้าสู่ระบบพิกัดและกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ในระบบที่ป้อน ดังที่เราทราบ เวกเตอร์ใดๆ สามารถแยกย่อยได้ในรูปแบบ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ โดยที่ $m$ และ $n$ เป็นจำนวนจริง และ $\overline (i )$ และ $\overline(j)$ เป็นเวกเตอร์หน่วยบนแกน $Ox$ และ $Oy$ ตามลำดับ
คำจำกัดความที่ 5
เราจะเรียกค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์ $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ว่าพิกัดของเวกเตอร์นี้ในระบบพิกัดที่แนะนำ ในทางคณิตศาสตร์:
$\overline(c)=(m,n)$
จะหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร?
เพื่อที่จะได้สูตรสำหรับคำนวณความยาวของเวกเตอร์ใดๆ ตามพิกัดของมัน ให้พิจารณาปัญหาต่อไปนี้:
ตัวอย่างที่ 1
ให้ไว้: เวกเตอร์ $\overline(α)$ พร้อมพิกัด $(x,y)$ ค้นหา: ความยาวของเวกเตอร์นี้
ให้เราแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียน $xOy$ บนเครื่องบิน ให้เราแยก $\overline(OA)=\overline(a)$ ออกจากจุดกำเนิดของระบบพิกัดที่แนะนำ ให้เราสร้างเส้นโครง $OA_1$ และ $OA_2$ ของเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นบนแกน $Ox$ และ $Oy$ ตามลำดับ (รูปที่ 3)
เวกเตอร์ $\overline(OA)$ ที่เราสร้างขึ้นจะเป็นเวกเตอร์รัศมีสำหรับจุด $A$ ดังนั้นมันจะมีพิกัด $(x,y)$ ซึ่งหมายถึง
$=x$, $[OA_2]=y$
ตอนนี้เราสามารถหาความยาวที่ต้องการได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
คำตอบ: $\sqrt(x^2+y^2)$
บทสรุป:ในการค้นหาความยาวของเวกเตอร์ที่มีการระบุพิกัด คุณจะต้องค้นหารากของกำลังสองของผลรวมของพิกัดเหล่านี้
งานตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาระยะห่างระหว่างจุด $X$ ถึง $Y$ ซึ่งมีพิกัดต่อไปนี้: $(-1.5)$ และ $(7.3)$ ตามลำดับ
จุดสองจุดใดๆ สามารถเชื่อมโยงกับแนวคิดของเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาเวกเตอร์ $\overline(XY)$ ดังที่เราทราบอยู่แล้ว พิกัดของเวกเตอร์ดังกล่าวสามารถพบได้โดยการลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้น ($X$) จากพิกัดของจุดสิ้นสุด ($Y$) เราเข้าใจแล้ว
อ็อกซี่
เกี่ยวกับ ก โอเอ.
, ที่ไหน 
โอเอ 
.
ดังนั้น, 
.
ลองดูตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
สารละลาย.
:
คำตอบ:
อ็อกซิซในที่ว่าง.
ก โอเอจะเป็นเส้นทแยงมุม
ในกรณีนี้ (ตั้งแต่ โอเอ 
โอเอ 
.
ดังนั้น, ความยาวเวกเตอร์ 
.
ตัวอย่าง.
คำนวณความยาวเวกเตอร์ 
สารละลาย.
, เพราะฉะนั้น, 
คำตอบ:
เส้นตรงบนเครื่องบิน
สมการทั่วไป
ขวาน + โดย + C ( > 0)
เวกเตอร์ = (ก; ข)เป็นเวกเตอร์เส้นปกติของเส้นตรง
ในรูปแบบเวกเตอร์: + ค = 0, เวกเตอร์รัศมีของจุดใดก็ได้บนเส้นตรงอยู่ที่ไหน (รูปที่ 4.11)
กรณีพิเศษ:
1) โดย + C = 0- เส้นตรงขนานกับแกน วัว;
2) ขวาน + C = 0- เส้นตรงขนานกับแกน เฮ้ย;
3) ขวาน + โดย = 0- เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด
4) ย = 0- แกน วัว;
5) x = 0- แกน เฮ้ย.
สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
ที่ไหน ก, ข- ค่าของส่วนที่ตัดออกด้วยเส้นตรงบนแกนพิกัด
สมการปกติของเส้นตรง(รูปที่ 4.11)
โดยที่มุมก่อตัวเป็นเส้นตั้งฉากกับเส้นและแกน วัว; พี- ระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรง
การลดสมการทั่วไปของเส้นตรงให้อยู่ในรูปปกติ:
นี่คือปัจจัยที่ทำให้เป็นมาตรฐานของเส้น ป้ายถูกเลือกตรงข้ามกับป้าย คถ้า และโดยพลการ ถ้า ค=0.
การหาความยาวของเวกเตอร์จากพิกัด
เราจะแสดงความยาวของเวกเตอร์ด้วย เนื่องจากสัญลักษณ์นี้ ความยาวของเวกเตอร์จึงมักเรียกว่าโมดูลัสของเวกเตอร์
เริ่มต้นด้วยการหาความยาวของเวกเตอร์บนระนาบโดยใช้พิกัด
ให้เราแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนเครื่องบิน อ็อกซี่- ให้เวกเตอร์ถูกระบุและมีพิกัด เราได้รับสูตรที่ช่วยให้เราสามารถค้นหาความยาวของเวกเตอร์ผ่านพิกัด และ .
ขอเลื่อนจากพิกัดต้นทาง(จากจุด เกี่ยวกับ) เวกเตอร์ ให้เราแสดงถึงการคาดการณ์ของจุด กบนแกนพิกัดเป็นและตามลำดับและพิจารณารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นทแยงมุม โอเอ.
โดยอาศัยทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริง , ที่ไหน - จากนิยามของพิกัดเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เราสามารถระบุได้ว่า และ และโดยการสร้างความยาว โอเอเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ ดังนั้น .
ดังนั้น, สูตรการหาความยาวของเวกเตอร์ตามพิกัดบนเครื่องบินมีรูปแบบ .
หากเวกเตอร์แสดงเป็นส่วนขยายในเวกเตอร์พิกัด จากนั้นความยาวจะคำนวณโดยใช้สูตรเดียวกัน เนื่องจากในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ และ คือพิกัดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดที่กำหนด
ลองดูตัวอย่าง
ตัวอย่าง.
ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
สารละลาย.
เราใช้สูตรทันทีเพื่อค้นหาความยาวของเวกเตอร์จากพิกัด :
คำตอบ:
ตอนนี้เราได้สูตรการหาความยาวของเวกเตอร์แล้ว โดยพิกัดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อ็อกซิซในที่ว่าง.
ให้เราพล็อตเวกเตอร์จากจุดกำเนิดและแสดงถึงการฉายภาพของจุด กบนแกนพิกัดเป็น และ จากนั้นเราสามารถสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ด้านข้างได้ โอเอจะเป็นเส้นทแยงมุม
ในกรณีนี้ (ตั้งแต่ โอเอ– เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) จากที่ไหน - การกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ช่วยให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันและความยาวได้ โอเอเท่ากับความยาวเวกเตอร์ที่ต้องการ ดังนั้น .
ดังนั้น, ความยาวเวกเตอร์ ในอวกาศเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัดนั่นคือพบได้จากสูตร .
ตัวอย่าง.
คำนวณความยาวเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอยู่ที่ไหน
สารละลาย.
เราได้รับการสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์ม , เพราะฉะนั้น, - จากนั้นเมื่อใช้สูตรหาความยาวของเวกเตอร์จากพิกัด เราจะได้
ในบทความนี้ เราจะเริ่มพูดถึง "ไม้กายสิทธิ์" หนึ่งอันที่จะช่วยให้คุณสามารถลดปัญหาทางเรขาคณิตหลายอย่างให้เหลือเพียงเลขคณิตธรรมดาได้ “ไม้เท้า” นี้สามารถทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณรู้สึกไม่มั่นใจในการสร้างรูปทรงเชิงพื้นที่ ส่วนต่างๆ ฯลฯ ทั้งหมดนี้ต้องใช้จินตนาการและทักษะการปฏิบัติ วิธีการที่เราจะเริ่มพิจารณาที่นี่จะช่วยให้คุณสามารถสรุปได้เกือบทั้งหมดจากโครงสร้างทางเรขาคณิตและการให้เหตุผลทุกประเภท วิธีการนี้เรียกว่า "วิธีประสาน"- ในบทความนี้เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้:
- พิกัดเครื่องบิน
- จุดและเวกเตอร์บนเครื่องบิน
- การสร้างเวกเตอร์จากจุดสองจุด
- ความยาวเวกเตอร์ (ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด)
- พิกัดตรงกลางของส่วน
- ผลคูณดอทของเวกเตอร์
- มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว
ฉันคิดว่าคุณคงเดาได้แล้วว่าทำไมวิธีการประสานงานจึงเรียกอย่างนั้น ถูกต้อง มันได้ชื่อนี้มาเพราะมันไม่ได้ทำงานกับวัตถุทางเรขาคณิต แต่มีคุณสมบัติเชิงตัวเลข (พิกัด) และการเปลี่ยนแปลงนั้นเองซึ่งช่วยให้เราสามารถย้ายจากเรขาคณิตเป็นพีชคณิตได้นั้นประกอบด้วยการแนะนำระบบพิกัด ถ้ารูปเดิมแบน พิกัดจะเป็นสองมิติ และถ้ารูปเป็นสามมิติ พิกัดจะเป็นสามมิติ ในบทความนี้เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีสองมิติเท่านั้น และเป้าหมายหลักของบทความนี้คือเพื่อสอนวิธีใช้เทคนิคพื้นฐานบางอย่างของวิธีการประสานงาน (บางครั้งอาจมีประโยชน์เมื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับการวางแผนระนาบในส่วน B ของการสอบ Unified State) สองส่วนถัดไปในหัวข้อนี้จะเน้นไปที่การอภิปรายเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขปัญหา C2 (ปัญหาของ Stereometry)
มันจะสมเหตุสมผลที่จะเริ่มหารือเกี่ยวกับวิธีการประสานงานที่ไหน? อาจมาจากแนวคิดของระบบพิกัด จำไว้เมื่อคุณพบเธอครั้งแรก สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เมื่อคุณเรียนรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นต้น ฉันขอเตือนคุณว่าคุณสร้างมันทีละจุด คุณจำได้ไหม? คุณเลือกตัวเลขที่ต้องการ แทนที่มันลงในสูตรแล้วคำนวณด้วยวิธีนั้น เช่น ถ้า แล้ว ถ้า แล้ว เป็นต้น ในที่สุดคุณจะได้อะไร? และคุณได้รับคะแนนพร้อมพิกัด: และ ถัดไปคุณวาด "กากบาท" (ระบบพิกัด) เลือกมาตราส่วน (จำนวนเซลล์ที่คุณจะมีส่วนเป็นหน่วย) และทำเครื่องหมายจุดที่คุณได้รับซึ่งคุณเชื่อมต่อด้วยเส้นตรงที่ได้ เส้นคือกราฟของฟังก์ชัน
มีบางประเด็นที่ควรอธิบายให้คุณทราบโดยละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย:
1. คุณเลือกส่วนเดียวเพื่อความสะดวกเพื่อให้ทุกอย่างลงตัวกับภาพวาดอย่างสวยงามและกะทัดรัด
2. เป็นที่ยอมรับกันว่าแกนเคลื่อนจากซ้ายไปขวา และแกนเคลื่อนจากล่างขึ้นบน
3. พวกมันตัดกันที่มุมฉาก และจุดตัดของพวกมันเรียกว่าจุดกำเนิด มีการระบุด้วยตัวอักษร
4. ในการเขียนพิกัดของจุด เช่น ทางด้านซ้ายในวงเล็บจะมีพิกัดของจุดตามแนวแกน และทางด้านขวาคือตามแนวแกน โดยเฉพาะก็หมายความถึงตรงจุดนั่นเอง
5. ในการระบุจุดใดๆ บนแกนพิกัด คุณจะต้องระบุพิกัดของมัน (ตัวเลข 2 ตัว)
6. จุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน
7. จุดใดๆ ที่วางอยู่บนแกน
8. แกนนี้เรียกว่าแกน x
9. แกนนี้เรียกว่าแกน y
ตอนนี้เรามาดูขั้นตอนต่อไป: ทำเครื่องหมายสองจุด มาเชื่อมโยงสองจุดนี้กับเซ็กเมนต์กัน และเราจะใส่ลูกศรราวกับว่าเรากำลังวาดส่วนจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุด: นั่นคือเราจะทำให้ส่วนของเราตรงเป้าหมาย!
จำได้ไหมว่าส่วนทิศทางอื่นเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง มันเรียกว่าเวกเตอร์!
ดังนั้นถ้าเราเชื่อมต่อจุดต่อจุด และจุดเริ่มต้นจะเป็นจุด A และจุดสิ้นสุดจะเป็นจุด Bแล้วเราจะได้เวกเตอร์ คุณเคยก่อสร้างนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จำได้ไหม?
ปรากฎว่าเวกเตอร์ เช่น จุด สามารถเขียนแทนด้วยตัวเลขสองตัวได้ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าพิกัดเวกเตอร์ คำถาม: คุณคิดว่ามันเพียงพอแล้วสำหรับเราที่จะรู้พิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เพื่อค้นหาพิกัดของมันหรือไม่? ปรากฎว่าใช่! และสิ่งนี้ทำได้ง่ายมาก:
ดังนั้น เนื่องจากในเวกเตอร์ จุดคือจุดเริ่มต้นและจุดคือจุดสิ้นสุด เวกเตอร์จึงมีพิกัดดังต่อไปนี้:
ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้วพิกัดของเวกเตอร์
ทีนี้ลองทำตรงกันข้าม หาพิกัดของเวกเตอร์ เราต้องเปลี่ยนแปลงอะไรเพื่อสิ่งนี้? ใช่ คุณต้องสลับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด: ตอนนี้จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์จะอยู่ที่จุด และจุดสิ้นสุดจะอยู่ที่จุด แล้ว:
ดูดีๆ อะไรคือความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์กับ? ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเครื่องหมายในพิกัด พวกเขาเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม ข้อเท็จจริงนี้มักจะเขียนดังนี้:
บางครั้งหากไม่ได้ระบุเจาะจงว่าจุดใดเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และเป็นจุดสิ้นสุด เวกเตอร์จะไม่แสดงด้วยอักษรตัวใหญ่สองตัว แต่ใช้อักษรตัวพิมพ์เล็กตัวเดียวเช่น: ฯลฯ
ตอนนี้นิดหน่อย ฝึกฝนตัวคุณเองและค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ต่อไปนี้:
การตรวจสอบ:
ตอนนี้แก้ไขปัญหาที่ยากขึ้นเล็กน้อย:
เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดจะมี co-or-di-na-you ค้นหาจุดเอบีเอส-ซิส-ซู
สิ่งเดียวกันนั้นค่อนข้างธรรมดา: ให้เป็นพิกัดของจุด แล้ว
ฉันรวบรวมระบบตามคำจำกัดความของพิกัดเวกเตอร์ แล้วจุดนั้นมีพิกัด เราสนใจแอบซิสซา แล้ว
คำตอบ:
คุณสามารถทำอะไรได้อีกกับเวกเตอร์? ใช่ เกือบทุกอย่างเหมือนกับตัวเลขธรรมดา (ยกเว้นว่าคุณไม่สามารถหารได้ แต่คุณสามารถคูณได้สองวิธี ซึ่งเราจะพูดถึงที่นี่ในภายหลัง)
- สามารถเพิ่มเวกเตอร์เข้าด้วยกันได้
- เวกเตอร์สามารถลบออกจากกันได้
- เวกเตอร์สามารถคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ได้ตามใจชอบ
- เวกเตอร์สามารถคูณกันได้
การดำเนินการทั้งหมดนี้มีการแสดงทางเรขาคณิตที่ชัดเจนมาก ตัวอย่างเช่น กฎสามเหลี่ยม (หรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน) สำหรับการบวกและการลบ:
เวกเตอร์ยืดหรือหดตัวหรือเปลี่ยนทิศทางเมื่อคูณหรือหารด้วยตัวเลข:
อย่างไรก็ตาม เราจะสนใจคำถามว่าเกิดอะไรขึ้นกับพิกัด
1. เมื่อบวก (ลบ) เวกเตอร์สองตัว เราจะบวก (ลบ) องค์ประกอบพิกัดของพวกมันทีละองค์ประกอบ นั่นคือ:
2. เมื่อคูณ (หาร) เวกเตอร์ด้วยตัวเลข พิกัดทั้งหมดจะถูกคูณ (หาร) ด้วยตัวเลขนี้:
ตัวอย่างเช่น:
· ค้นหาจำนวน co-or-di-nat ศตวรรษ-to-ra
ก่อนอื่น เรามาค้นหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวกันก่อน ทั้งสองมีจุดกำเนิดเดียวกัน - จุดกำเนิด ปลายของพวกเขาแตกต่างกัน แล้ว, . ทีนี้มาคำนวณพิกัดของเวกเตอร์กัน จากนั้นผลรวมของพิกัดของเวกเตอร์ผลลัพธ์จะเท่ากัน
คำตอบ:
ตอนนี้แก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง:
· ค้นหาผลรวมของพิกัดเวกเตอร์
เราตรวจสอบ:
ตอนนี้ลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้: เรามีจุดสองจุดบนระนาบพิกัด จะหาระยะห่างระหว่างพวกเขาได้อย่างไร? ปล่อยให้จุดแรกเป็นและจุดที่สอง ให้เราแสดงระยะห่างระหว่างพวกเขาด้วย มาสร้างภาพวาดต่อไปนี้เพื่อความชัดเจน:
ฉันทำอะไรลงไป? ก่อนอื่นเลย ฉันเชื่อมต่อแล้ว จุดและกก็ลากเส้นจากจุดนั้นด้วย ขนานกับแกนและจากจุดนั้น ฉันวาดเส้นขนานกับแกน พวกมันตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่งจนเกิดเป็นรูปร่างที่น่าทึ่งหรือไม่? มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเธอ? ใช่ คุณและฉันรู้เกือบทุกอย่างเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแน่นอน ส่วนที่ต้องการคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้ และส่วนนั้นคือขา พิกัดของจุดคืออะไร? ใช่ หาได้ง่ายจากภาพ: เนื่องจากเซกเมนต์ต่างๆ ขนานกับแกน และตามลำดับ ความยาวจึงหาได้ง่าย: ถ้าเราแทนความยาวของเซกเมนต์ด้วย ตามลำดับ แล้ว
ทีนี้ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน เรารู้ความยาวของขา เราจะหาด้านตรงข้ามมุมฉากได้:
ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือรากของผลรวมของผลต่างกำลังสองจากพิกัด หรือ - ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อกัน จะเห็นได้ง่ายว่าระยะห่างระหว่างจุดไม่ขึ้นอยู่กับทิศทาง แล้ว:
จากที่นี่เราได้ข้อสรุปสามประการ:
มาฝึกคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดกันหน่อย:
ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้วระยะห่างระหว่าง และ เท่ากับ
หรือไปอีกทางหนึ่ง: ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์
และค้นหาความยาวของเวกเตอร์:
อย่างที่คุณเห็นมันเป็นสิ่งเดียวกัน!
ตอนนี้ฝึกฝนตัวเองสักหน่อย:
ภารกิจ: ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดที่ระบุ:
เราตรวจสอบ:
ต่อไปนี้เป็นปัญหาอีก 2-3 ข้อที่ใช้สูตรเดียวกัน แม้ว่าจะฟังดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย:
1. หากำลังสองของความยาวของเปลือกตา
2. หากำลังสองของความยาวของเปลือกตา
ฉันคิดว่าคุณจัดการกับพวกเขาได้โดยไม่ยากใช่ไหม? เราตรวจสอบ:
1. และนี่คือเพื่อความเอาใจใส่) เราพบพิกัดของเวกเตอร์ก่อนหน้านี้แล้ว: . แล้วเวกเตอร์ก็มีพิกัด กำลังสองของความยาวจะเท่ากับ:
2. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์
แล้วกำลังสองของความยาวคือ
ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม? เลขคณิตง่ายๆ ไม่มีอะไรมากไปกว่านั้น
ปัญหาต่อไปนี้ไม่สามารถจำแนกได้อย่างชัดเจน แต่เป็นปัญหาเกี่ยวกับความรู้ทั่วไปและความสามารถในการวาดภาพง่ายๆ
1. ค้นหาไซน์ของมุมที่มุมจากการตัด เชื่อมต่อจุดกับแกนแอบซิสซา
และ
เราจะดำเนินการอย่างไรที่นี่? เราต้องหาไซน์ของมุมระหว่างกับแกน เราจะหาไซน์ได้ที่ไหน? ถูกต้องในสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วเราต้องทำอย่างไร? สร้างสามเหลี่ยมนี้!
เนื่องจากพิกัดของจุดคือ และ จากนั้นส่วนจะเท่ากับ และส่วน เราต้องหาไซน์ของมุม ผมขอเตือนคุณว่าไซน์คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
เรายังเหลืออะไรให้ทำบ้าง? หาด้านตรงข้ามมุมฉาก. คุณสามารถทำได้สองวิธี: ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (รู้จักขา!) หรือใช้สูตรหาระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (อันที่จริงก็เหมือนกับวิธีแรก!) ฉันจะไปทางที่สอง:
คำตอบ:
งานต่อไปจะดูง่ายยิ่งขึ้นสำหรับคุณ เธออยู่ในพิกัดของจุดนั้น
ภารกิจที่ 2จากจุดนั้น per-pen-di-ku-lyar จะลดลงไปที่แกน ab-ciss ไน-ดี-เต แอบ-ซิส-ซู โอส-โน-วา-นิยา เปอร์-เปน-ดี-กู-ลา-รา.
มาวาดรูปกันเถอะ:
ฐานของตั้งฉากคือจุดที่มันตัดกับแกน x (แกน) สำหรับฉันนี่คือจุด รูปแสดงว่ามีพิกัด: . เราสนใจ Abscissa - นั่นคือองค์ประกอบ "x" เธอมีความเท่าเทียมกัน
คำตอบ: .
ภารกิจที่ 3ในเงื่อนไขของปัญหาที่แล้ว ให้หาผลรวมของระยะทางจากจุดถึงแกนพิกัด
โดยทั่วไปงานนี้จะเป็นงานเบื้องต้นหากคุณรู้ว่าระยะห่างจากจุดหนึ่งถึงแกนคือเท่าใด คุณรู้? ฉันหวัง แต่ฉันยังคงเตือนคุณ:
ในรูปวาดของฉันด้านบน ฉันได้วาดเส้นตั้งฉากแบบนั้นแล้วหรือยัง? มันอยู่บนแกนไหน? ไปจนถึงแกน แล้วมันยาวเท่าไหร่ล่ะ? เธอมีความเท่าเทียมกัน ตอนนี้วาดตั้งฉากกับแกนด้วยตัวคุณเองแล้วค้นหาความยาวของมัน มันจะเท่ากันใช่ไหม? แล้วผลรวมของพวกเขาจะเท่ากัน
คำตอบ: .
ภารกิจที่ 4ในเงื่อนไขของภารกิจที่ 2 ให้ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับแกนแอบซิสซา
ฉันคิดว่ามันชัดเจนสำหรับคุณโดยสัญชาตญาณว่าความสมมาตรคืออะไร? วัตถุหลายอย่างมี เช่น อาคาร โต๊ะ เครื่องบิน รูปทรงเรขาคณิตมากมาย เช่น ลูกบอล ทรงกระบอก สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฯลฯ หากพูดโดยคร่าวแล้ว ความสมมาตรสามารถเข้าใจได้ดังนี้: ตัวเลขประกอบด้วยสองส่วนที่เหมือนกัน (หรือมากกว่า) สมมาตรนี้เรียกว่าสมมาตรตามแนวแกน แล้วแกนคืออะไร? นี่คือเส้นตรงที่ตัวเลขสามารถ "ตัด" ออกเป็นครึ่งเท่า ๆ กัน (ในภาพนี้แกนสมมาตรเป็นเส้นตรง):
ตอนนี้เรากลับมาที่งานของเรากันดีกว่า เรารู้ว่าเรากำลังมองหาจุดที่สมมาตรรอบแกน แล้วแกนนี้คือแกนสมมาตร ซึ่งหมายความว่าเราต้องทำเครื่องหมายจุดเพื่อให้แกนตัดส่วนออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ลองทำเครื่องหมายจุดดังกล่าวด้วยตัวเอง ตอนนี้เปรียบเทียบกับโซลูชันของฉัน:
มันได้ผลเหมือนกันสำหรับคุณหรือเปล่า? ดี! เราสนใจพิกัดของจุดที่พบ มันก็เท่าเทียมกัน
คำตอบ:
ทีนี้ บอกฉันที หลังจากคิดสักครู่แล้ว ค่าแอบซิสซาของจุดที่สมมาตรกับจุด A สัมพันธ์กับพิกัดจะเป็นเท่าใด? คำตอบของคุณคืออะไร? คำตอบที่ถูกต้อง: .
โดยทั่วไปกฎสามารถเขียนได้ดังนี้:
จุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับแกนแอบซิสซามีพิกัด:
จุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับแกนกำหนดมีพิกัด:
ตอนนี้มันน่ากลัวมาก งาน: ค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด ก่อนอื่นคุณคิดด้วยตัวเองแล้วดูรูปวาดของฉัน!
คำตอบ:
ตอนนี้ ปัญหารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
ภารกิจที่ 5: คะแนนปรากฏ ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma ค้นหาหรือดิบนจุดนั้น
คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้สองวิธี: ตรรกะและวิธีการประสานงาน ฉันจะใช้วิธีการพิกัดก่อน จากนั้นฉันจะบอกคุณว่าคุณจะแก้ปัญหานี้ให้แตกต่างออกไปได้อย่างไร
เห็นได้ชัดว่าค่าแอบซิสซาของจุดเท่ากับ (อยู่บนเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดถึงแกนแอบซิสซา) เราต้องหาโอสถ. ลองใช้ความจริงที่ว่ารูปของเราเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งหมายความว่า มาหาความยาวของส่วนโดยใช้สูตรระยะห่างระหว่างจุดสองจุด:
เราลดแนวตั้งฉากที่เชื่อมต่อจุดกับแกน ฉันจะระบุจุดตัดด้วยตัวอักษร
ความยาวของส่วนจะเท่ากัน (หาปัญหาด้วยตัวเองเมื่อเราพูดถึงประเด็นนี้) จากนั้นเราจะหาความยาวของส่วนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
ความยาวของเซ็กเมนต์นั้นตรงกับพิกัดของมันทุกประการ
คำตอบ: .
วิธีแก้ปัญหาอื่น (ฉันจะให้รูปภาพที่แสดงให้เห็น)
ความคืบหน้าของการแก้ปัญหา:
1. ความประพฤติ
2. ค้นหาพิกัดของจุดและความยาว
3. พิสูจน์ว่า.
อีกอันหนึ่ง ปัญหาความยาวส่วน:
จุดต่างๆ จะปรากฏที่ด้านบนของรูปสามเหลี่ยม จงหาความยาวของเส้นกึ่งกลางขนานกัน
คุณจำได้ไหมว่าเส้นกลางของสามเหลี่ยมคืออะไร? งานนี้ถือเป็นงานพื้นฐานสำหรับคุณ หากคุณจำไม่ได้ ฉันจะเตือนคุณว่า เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่ง
ฐานเป็นส่วน เราต้องดูความยาวของมันตั้งแต่เนิ่นๆ ว่ามันเท่ากัน จากนั้นความยาวของเส้นกลางจะมีขนาดใหญ่และเท่ากันครึ่งหนึ่ง
คำตอบ: .
ความคิดเห็น: ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่นซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง
ในระหว่างนี้ ต่อไปนี้เป็นปัญหาเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ ฝึกฝนกับปัญหาเหล่านี้ แม้จะง่ายมาก แต่จะช่วยให้คุณใช้วิธีการพิกัดได้ดีขึ้น!
1. จุดต่างๆ จะปรากฏที่ด้านบนของ Tra-pe-tions หาความยาวของเส้นกึ่งกลางของมัน.
2. คะแนนและรูปลักษณ์ เวอร์-ชิ-นา-มิ ปา-รัล-เล-โล-แกรม-มา ค้นหาหรือดิบนจุดนั้น
3. หาความยาวจากการตัด เชื่อมจุด และ
4. หาพื้นที่ด้านหลังรูปสีบนระนาบพิกัด
5. วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ นะชาเล กอ ดี นาฏ ลอดผ่านจุดนั้น ค้นหา ra-di-us ของเธอ
6. หา-ดิ-เต รา-ดิ-อุสของวงกลม บรรยาย-ซัน-น้อยเกี่ยวกับมุมขวา-โน-กะ ยอดของสิ่งใดสิ่งหนึ่งมีคำร่วมหรือ-ดี-นา-คุณมีความรับผิดชอบมาก -แต่
โซลูชั่น:
1. เป็นที่ทราบกันว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน ฐานจะเท่ากันและฐาน แล้ว
คำตอบ:
2. วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหานี้คือการสังเกต (กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน) การคำนวณพิกัดของเวกเตอร์นั้นไม่ใช่เรื่องยาก: . เมื่อเพิ่มเวกเตอร์ พิกัดจะถูกเพิ่ม แล้วก็มีพิกัด. จุดนั้นมีพิกัดเหล่านี้ด้วย เนื่องจากจุดกำเนิดของเวกเตอร์คือจุดที่มีพิกัด เราสนใจงานบวชครับ. เธอมีความเท่าเทียมกัน
คำตอบ:
3. เราดำเนินการตามสูตรระยะห่างระหว่างจุดสองจุดทันที:
คำตอบ:
4. ดูภาพแล้วบอกฉันว่าตัวเลขสองตัวใดที่บริเวณแรเงานั้น “ประกบกัน” ระหว่าง? มันถูกประกบอยู่ระหว่างสองสี่เหลี่ยม จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ต้องการจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ลบด้วยพื้นที่ของรูปเล็ก ด้านข้างของสี่เหลี่ยมเล็กๆ เป็นส่วนเชื่อมต่อจุดต่างๆ และความยาวของมันคือ
แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเล็กๆ ก็คือ
เราทำเช่นเดียวกันกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ ด้านข้างของมันคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดต่างๆ และความยาวของมันคือ
แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมใหญ่คือ
เราค้นหาพื้นที่ของรูปที่ต้องการโดยใช้สูตร:
คำตอบ:
5. หากวงกลมมีจุดกำเนิดเป็นจุดศูนย์กลางและผ่านจุดหนึ่ง รัศมีของมันจะเท่ากับความยาวของส่วนนั้นทุกประการ (วาดรูปแล้วคุณจะเข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้ถึงชัดเจน) ลองหาความยาวของส่วนนี้:
คำตอบ:
6. เป็นที่ทราบกันว่ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมนั้นมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม ลองหาความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นกัน (ท้ายที่สุดแล้วในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเท่ากัน!)
คำตอบ:
คุณรับมือกับทุกสิ่งแล้วหรือยัง? มันไม่ยากที่จะคิดออกใช่ไหม? มีกฎเพียงข้อเดียวที่นี่ - สามารถสร้างภาพและเพียงแค่ "อ่าน" ข้อมูลทั้งหมดจากนั้น
เรามีเหลือน้อยมาก มีอีกสองประเด็นที่ฉันต้องการจะพูดคุย
ลองแก้ปัญหาง่ายๆ นี้กัน ให้สองคะแนนและได้รับ ค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน วิธีแก้ไขปัญหานี้มีดังนี้ ให้จุดอยู่ตรงกลางที่ต้องการ แล้วจะได้พิกัด:
นั่นคือ: พิกัดตรงกลางของเซ็กเมนต์ = ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดที่สอดคล้องกันของส่วนท้ายของเซ็กเมนต์
กฎนี้ง่ายมากและมักจะไม่ทำให้นักเรียนลำบาก มาดูกันว่ามีปัญหาอะไรและใช้อย่างไร:
1. ค้นหา-di-te หรือ-di-na-tu se-re-di-ny จากการตัดเชื่อมต่อจุดและ
2. แต้มดูเหมือนจะอยู่อันดับต้นๆ ของโลก. Find-di-te หรือ-di-na-tu คะแนนต่อ-re-se-che-niya ของ dia-go-na-ley ของเขา
3. หา-di-te abs-cis-su ศูนย์กลางของวงกลม บรรยาย-san-noy เกี่ยวกับสี่เหลี่ยม-no-ka ยอดของบางสิ่งบางอย่างมี co-or-di-na-you so-responly-but
โซลูชั่น:
1. ปัญหาแรกเป็นเพียงปัญหาคลาสสิก เราดำเนินการทันทีเพื่อกำหนดจุดกึ่งกลางของส่วน มันมีพิกัด. ลำดับก็เท่ากัน
คำตอบ:
2. เห็นได้ง่ายว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (แม้แต่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย!) คุณสามารถพิสูจน์ได้ด้วยตัวเองโดยการคำนวณความยาวของด้านแล้วเปรียบเทียบกัน ฉันรู้อะไรเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน? เส้นทแยงมุมของมันถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด! ใช่! แล้วจุดตัดของเส้นทแยงมุมคืออะไร? นี่คือจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม! ฉันจะเลือกเส้นทแยงมุมโดยเฉพาะ แล้วจุดนั้นมีพิกัด พิกัดของจุดเท่ากับ
คำตอบ:
3. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมนั้นตรงกับข้อใด? มันเกิดขึ้นพร้อมกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม? พวกมันเท่ากันและจุดตัดแบ่งครึ่ง งานลดลงเหลืองานก่อนหน้า ลองใช้เส้นทแยงมุมเป็นตัวอย่าง ถ้าเป็นจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวง ก็เป็นจุดกึ่งกลาง ฉันกำลังมองหาพิกัด: Abscissa มีค่าเท่ากัน
คำตอบ:
ตอนนี้ฝึกฝนด้วยตัวเองสักหน่อย ฉันจะให้คำตอบของแต่ละปัญหาเพื่อให้คุณทดสอบตัวเองได้
1. หา-ได-เต ระ-ดี-อุสของวงกลม บรรยาย-ซัน-น้อยเกี่ยวกับสามเหลี่ยม-โน-กะ ยอดของสิ่งใดสิ่งหนึ่งมีนายร่วมหรือดิ-ไม่มี
2. หา-ได-เต หรือ-ได-ออน-จุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น บรรยาย-ซัน-น้อย เกี่ยวกับสามเหลี่ยม-โน-กะ ซึ่งยอดมีพิกัด
3. รัศมีดีอุษาแบบใดควรมีวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่งจนแตะแกน ab-ciss?
4. ค้นหาจุดแยกหรือจุดตัดของแกนและจุดตัด เชื่อมต่อจุดและ
คำตอบ:
ทุกอย่างประสบความสำเร็จใช่ไหม? ฉันหวังไว้จริงๆ! ตอนนี้ - การผลักดันครั้งสุดท้าย ตอนนี้ต้องระวังเป็นพิเศษ เนื้อหาที่ผมจะอธิบายตอนนี้เกี่ยวข้องโดยตรงไม่เพียงแต่กับปัญหาง่ายๆ ในวิธีการพิกัดจากส่วน B เท่านั้น แต่ยังพบได้ทุกที่ในปัญหา C2 ด้วย
ฉันยังไม่ได้รักษาสัญญาใดของฉัน? จำการดำเนินการกับเวกเตอร์ที่ฉันสัญญาว่าจะแนะนำและการดำเนินการใดที่ฉันแนะนำในท้ายที่สุด แน่ใจเหรอว่าฉันไม่ได้ลืมอะไรเลย? ลืม! ฉันลืมอธิบายว่าการคูณเวกเตอร์หมายถึงอะไร
มีสองวิธีในการคูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์ เราจะได้วัตถุที่มีลักษณะแตกต่างกันทั้งนี้ขึ้นอยู่กับวิธีที่เลือก:
ครอสโปรดัคทำได้ค่อนข้างชาญฉลาด เราจะพูดถึงวิธีการทำและเหตุใดจึงจำเป็นในบทความถัดไป ในกรณีนี้ เราจะเน้นที่ผลคูณสเกลาร์
มีสองวิธีที่ช่วยให้เราคำนวณได้:
อย่างที่เดาไว้ผลลัพธ์ก็น่าจะเหมือนเดิม! มาดูวิธีแรกกันก่อน:
ผลิตภัณฑ์ดอทผ่านพิกัด
ค้นหา: - สัญกรณ์ที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับผลคูณสเกลาร์
สูตรการคำนวณมีดังนี้:
นั่นคือ ผลคูณสเกลาร์ = ผลรวมผลคูณของพิกัดเวกเตอร์!
ตัวอย่าง:
ค้นหา-di-te
สารละลาย:
มาหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวกัน:
เราคำนวณผลคูณสเกลาร์โดยใช้สูตร:
คำตอบ:
ดูสิไม่มีอะไรซับซ้อนอย่างแน่นอน!
ทีนี้ลองด้วยตัวเอง:
·ค้นหาสเกลาร์ pro-iz-ve-de-nie ของศตวรรษและ
คุณจัดการหรือไม่? บางทีคุณอาจสังเกตเห็นการจับเล็กน้อย? มาตรวจสอบกัน:
พิกัดเวกเตอร์เหมือนในปัญหาที่แล้ว! คำตอบ: .
นอกจากพิกัดแล้ว ยังมีอีกวิธีหนึ่งในการคำนวณผลคูณสเกลาร์ กล่าวคือ ผ่านความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:
หมายถึงมุมระหว่างเวกเตอร์และ
นั่นคือผลคูณสเกลาร์เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น
ทำไมเราต้องมีสูตรที่สองนี้ ถ้าเรามีสูตรแรกซึ่งง่ายกว่ามาก อย่างน้อยก็ไม่มีโคไซน์อยู่ในนั้น และจำเป็นเพื่อว่าจากสูตรแรกและสูตรที่สองคุณและฉันสามารถอนุมานวิธีหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้!
ให้จำสูตรความยาวของเวกเตอร์ไว้!
ถ้าฉันแทนที่ข้อมูลนี้ลงในสูตรผลคูณสเกลาร์ ฉันจะได้รับ:
แต่อย่างอื่น:
แล้วคุณกับฉันได้อะไรมา? ตอนนี้เรามีสูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวได้! บางครั้งก็เขียนเช่นนี้เพื่อความกระชับ:
นั่นคืออัลกอริทึมในการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์มีดังนี้:
- คำนวณผลคูณสเกลาร์ผ่านพิกัด
- จงหาความยาวของเวกเตอร์แล้วคูณมัน
- หารผลลัพธ์ของจุดที่ 1 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 2
มาฝึกกันด้วยตัวอย่าง:
1. หามุมระหว่างเปลือกตากับ ให้คำตอบเป็น grad-du-sah
2. ในเงื่อนไขของปัญหาก่อนหน้า ให้ค้นหาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์
มาทำสิ่งนี้: ฉันจะช่วยคุณแก้ปัญหาแรกและลองทำอย่างที่สองด้วยตัวเอง! เห็นด้วย? ถ้าอย่างนั้นเรามาเริ่มกันเลย!
1. เวกเตอร์เหล่านี้คือเพื่อนเก่าของเรา เราได้คำนวณผลคูณสเกลาร์แล้ว และมันก็เท่ากัน พิกัดของพวกเขาคือ: , . จากนั้นเราจะพบความยาว:
จากนั้นเรามองหาโคไซน์ระหว่างเวกเตอร์:
โคไซน์ของมุมเป็นเท่าใด? นี่คือมุม
คำตอบ:
ตอนนี้แก้ไขปัญหาที่สองด้วยตัวเองแล้วเปรียบเทียบ! ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ :
2.มีพิกัด,มีพิกัด.
อนุญาต เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์กับ, แล้ว
คำตอบ:
ควรสังเกตว่าปัญหาโดยตรงบนเวกเตอร์และวิธีการประสานงานในส่วน B ของข้อสอบนั้นค่อนข้างหายาก อย่างไรก็ตาม ปัญหา C2 ส่วนใหญ่สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยการนำระบบพิกัดมาใช้ ดังนั้นคุณสามารถพิจารณาบทความนี้เป็นรากฐานโดยที่เราจะสร้างโครงสร้างที่ชาญฉลาดซึ่งเราจะต้องแก้ปัญหาที่ซับซ้อน
พิกัดและเวกเตอร์ ระดับเฉลี่ย
คุณและฉันยังคงศึกษาวิธีการประสานงานต่อไป ในส่วนสุดท้าย เราได้รับสูตรสำคัญจำนวนหนึ่งที่ช่วยให้คุณ:
- ค้นหาพิกัดเวกเตอร์
- ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ (หรืออีกทางหนึ่ง: ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด)
- บวกและลบเวกเตอร์ คูณมันด้วยจำนวนจริง
- ค้นหาจุดกึ่งกลางของส่วน
- คำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์
- ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์
แน่นอนว่าวิธีการพิกัดทั้งหมดไม่เหมาะกับ 6 จุดเหล่านี้ มันเป็นรากฐานของวิทยาศาสตร์เช่นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ซึ่งคุณจะคุ้นเคยในมหาวิทยาลัย ฉันแค่อยากสร้างรากฐานที่จะช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาได้ในสถานะเดียว การสอบ. เราได้จัดการกับภารกิจของส่วน B แล้ว ตอนนี้ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่ระดับใหม่! บทความนี้จะกล่าวถึงวิธีการแก้ไขปัญหา C2 เหล่านั้น ซึ่งการเปลี่ยนไปใช้วิธีพิกัดก็สมเหตุสมผล ความสมเหตุสมผลนี้พิจารณาจากสิ่งที่จำเป็นสำหรับปัญหาและตัวเลขที่ให้มา ดังนั้น ฉันจะใช้วิธีการประสานงานหากคำถามคือ:
- หามุมระหว่างระนาบสองระนาบ
- หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ
- หามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น
- หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ
- ค้นหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
- หาระยะทางจากเส้นตรงถึงระนาบ
- ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นสองเส้น
ถ้ารูปที่ให้ไว้ในคำชี้แจงปัญหาคือตัวของการหมุน (ลูกบอล ทรงกระบอก กรวย...)
ตัวเลขที่เหมาะสมสำหรับวิธีพิกัดคือ:
- เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน
- พีระมิด (สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หกเหลี่ยม)
จากประสบการณ์ของผมเช่นกัน ไม่เหมาะสมที่จะใช้วิธีพิกัดสำหรับ:
- การหาพื้นที่หน้าตัด
- การคำนวณปริมาตรของร่างกาย
อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตทันทีว่าสถานการณ์ "ที่ไม่เอื้ออำนวย" ทั้งสามสถานการณ์สำหรับวิธีการประสานงานนั้นค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ ในงานส่วนใหญ่ มันสามารถกลายเป็นผู้ช่วยชีวิตของคุณได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่เก่งในเรื่องการก่อสร้างสามมิติ (ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน)
ตัวเลขทั้งหมดที่ฉันระบุไว้ข้างต้นคืออะไร? พวกมันไม่แบนอีกต่อไป เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยม วงกลม แต่มีขนาดใหญ่! ดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาไม่ใช่ระบบพิกัดแบบสองมิติ แต่เป็นระบบพิกัดสามมิติ มันค่อนข้างง่ายที่จะสร้าง: นอกเหนือจากแกนแอบซิสซาและแกนกำหนดตำแหน่งแล้ว เราจะแนะนำแกนอีกแกนหนึ่ง นั่นคือแกนประยุกต์ รูปภาพแสดงตำแหน่งสัมพัทธ์ตามแผนผัง:
ทั้งหมดนี้ตั้งฉากกันและตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเราจะเรียกว่าแหล่งกำเนิดของพิกัด เหมือนเมื่อก่อน เราจะแสดงแกน abscissa แกนกำหนด - และแกนประยุกต์ที่แนะนำ -
หากก่อนหน้านี้แต่ละจุดบนระนาบมีลักษณะเป็นตัวเลขสองตัว - แอบซิสซาและพิกัด จากนั้นแต่ละจุดในอวกาศก็อธิบายด้วยตัวเลขสามตัวอยู่แล้ว - แอบซิสซา พิกัดและแอปพลิเคชัน ตัวอย่างเช่น:
ดังนั้น abscissa ของจุดจะเท่ากัน ลำดับคือ และแอปพลิเคชันคือ
บางครั้ง Abscissa ของจุดนั้นเรียกอีกอย่างว่าการฉายจุดบนแกน abscissa, การวางแนว - การฉายภาพของจุดบนแกนการวางแนว และ applicate - การฉายภาพของจุดบนแกนของ applicate ดังนั้น หากมีการระบุจุด จุดที่มีพิกัด:
เรียกว่าการฉายภาพจุดบนระนาบ
เรียกว่าการฉายภาพจุดบนระนาบ
คำถามธรรมชาติเกิดขึ้น: สูตรทั้งหมดที่ได้มาจากกรณีสองมิติใช้ได้ในอวกาศหรือไม่ คำตอบคือ ใช่ มีความยุติธรรมและมีรูปร่างหน้าตาเหมือนกัน สำหรับรายละเอียดเล็กๆ น้อยๆ ฉันคิดว่าคุณเดาได้แล้วว่ามันคืออะไร ในทุกสูตร เราจะต้องเพิ่มคำศัพท์อีกหนึ่งคำที่รับผิดชอบแกนประยุกต์ กล่าวคือ.
1. หากได้รับสองคะแนน: แล้ว:
- พิกัดเวกเตอร์:
- ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด (หรือความยาวเวกเตอร์)
- จุดกึ่งกลางของส่วนมีพิกัด
2. ถ้าให้เวกเตอร์สองตัว: และแล้ว:
- ผลคูณสเกลาร์มีค่าเท่ากับ:
- โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ:
อย่างไรก็ตาม พื้นที่ไม่ง่ายนัก ตามที่คุณเข้าใจ การเพิ่มอีกหนึ่งพิกัดจะทำให้เกิดความหลากหลายอย่างมีนัยสำคัญในสเปกตรัมของบุคคลที่ "มีชีวิต" ในพื้นที่นี้ และสำหรับการบรรยายเพิ่มเติม ฉันจะต้องแนะนำ "ลักษณะทั่วไป" ของเส้นตรงคร่าวๆ บ้าง “ลักษณะทั่วไป” นี้จะเป็นระนาบ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเครื่องบิน? ลองตอบคำถามว่าเครื่องบินคืออะไร? มันยากมากที่จะพูด อย่างไรก็ตาม เราทุกคนจินตนาการตามสัญชาตญาณว่าสิ่งนี้จะเป็นอย่างไร:
พูดโดยคร่าวๆ นี่เป็น "แผ่นงาน" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดติดอยู่ในอวกาศ ควรเข้าใจว่า "อนันต์" จะต้องเข้าใจว่าเครื่องบินขยายออกไปทุกทิศทาง กล่าวคือ พื้นที่ของเครื่องบินเท่ากับอนันต์ อย่างไรก็ตาม คำอธิบายแบบ “ลงมือปฏิบัติจริง” นี้ไม่ได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับโครงสร้างของเครื่องบินแม้แต่น้อย และเธอเองที่จะสนใจเรา
จำหลักสัจพจน์พื้นฐานของเรขาคณิตข้อหนึ่ง:
- เส้นตรงจะลากผ่านจุดที่แตกต่างกันสองจุดบนเครื่องบิน และมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น:
หรืออะนาล็อกในอวกาศ:
แน่นอนคุณจำวิธีการหาสมการของเส้นจากจุดที่กำหนดสองจุดได้ไม่ยากเลย: หากจุดแรกมีพิกัด: และจุดที่สองสมการของเส้นจะเป็นดังนี้:
คุณเรียนวิชานี้ตอนเกรด 7 ในอวกาศสมการของเส้นมีลักษณะดังนี้: ให้เราได้รับจุดสองจุดพร้อมพิกัด: จากนั้นสมการของเส้นที่ผ่านพวกมันจะมีรูปแบบ:
ตัวอย่างเช่น เส้นหนึ่งลากผ่านจุดต่างๆ:
สิ่งนี้ควรเข้าใจอย่างไร? สิ่งนี้ควรเข้าใจดังนี้: จุดอยู่บนเส้นถ้าพิกัดเป็นไปตามระบบต่อไปนี้:
เราจะไม่สนใจสมการของเส้นตรงมากนัก แต่เราต้องสนใจแนวคิดที่สำคัญมากของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง - เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรงที่กำหนดหรือขนานกับเส้นนั้น
ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ทั้งสองเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง อนุญาต เป็นจุดที่วางอยู่บนเส้นตรงและปล่อยให้เป็นเวกเตอร์ทิศทางของมัน จากนั้นสมการของเส้นสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:
ขอย้ำอีกครั้งว่าฉันจะไม่สนใจสมการของเส้นตรงมากนัก แต่ฉันต้องการให้คุณจำไว้ว่าเวกเตอร์ทิศทางคืออะไร! อีกครั้ง: นี่คือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นตรงหรือขนานกับมัน
ถอน สมการของระนาบตามจุดที่กำหนดสามจุดไม่ใช่เรื่องเล็กน้อยอีกต่อไป และโดยปกติแล้วปัญหานี้จะไม่ได้รับการแก้ไขในหลักสูตร มัธยม- แต่เปล่าประโยชน์! เทคนิคนี้มีความสำคัญเมื่อเราใช้วิธีการประสานงานเพื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ฉันคิดว่าคุณกระตือรือร้นที่จะเรียนรู้สิ่งใหม่ ๆ ใช่ไหม? ยิ่งไปกว่านั้น คุณจะสามารถสร้างความประทับใจให้กับอาจารย์ของคุณที่มหาวิทยาลัยได้เมื่อปรากฎว่าคุณรู้วิธีใช้เทคนิคที่ปกติแล้วจะเรียนในหลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์อยู่แล้ว มาเริ่มกันเลย
สมการของระนาบไม่แตกต่างจากสมการเส้นตรงบนระนาบมากนัก กล่าวคือ มีรูปแบบดังนี้
ตัวเลขบางตัว (ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด) แต่เป็นตัวแปร เช่น เป็นต้น อย่างที่คุณเห็น สมการของระนาบไม่แตกต่างจากสมการเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) มากนัก อย่างไรก็ตาม จำได้ไหมว่าคุณกับฉันทะเลาะกันเรื่องอะไร? เราบอกว่าถ้าเรามีจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน สมการของระนาบก็สามารถสร้างขึ้นมาใหม่ได้โดยเฉพาะ แต่อย่างไร? ฉันจะพยายามอธิบายให้คุณฟัง
เนื่องจากสมการของระนาบคือ:
และจุดต่างๆ เป็นของระนาบนี้ จากนั้นเมื่อแทนพิกัดของแต่ละจุดลงในสมการของระนาบ เราควรได้รับข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง:
ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแก้สมการสามสมการโดยไม่ทราบค่า! ภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออก! อย่างไรก็ตาม คุณสามารถสรุปได้เสมอ (ในการดำเนินการนี้ คุณต้องหารด้วย) ดังนั้นเราจึงได้สมการสามสมการโดยไม่ทราบค่าสามค่า:
อย่างไรก็ตาม เราจะไม่แก้ระบบดังกล่าว แต่จะเขียนสำนวนลึกลับที่ตามมาจากนั้น:
สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด
\[\ซ้าย| (\begin(อาร์เรย์)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(อาร์เรย์)) \right| = 0\]
หยุด! นี่คืออะไร? โมดูลที่ผิดปกติมาก! อย่างไรก็ตาม วัตถุที่คุณเห็นตรงหน้าไม่เกี่ยวข้องกับโมดูลเลย วัตถุนี้เรียกว่าปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม จากนี้ไป เมื่อคุณจัดการกับวิธีพิกัดบนระนาบ คุณมักจะพบกับปัจจัยกำหนดเดียวกันนี้ ปัจจัยกำหนดลำดับที่สามคืออะไร? น่าแปลกที่มันเป็นเพียงตัวเลข ยังคงต้องเข้าใจว่าเราจะเปรียบเทียบกับจำนวนเฉพาะใดกับดีเทอร์มิแนนต์
ขั้นแรกให้เขียนดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่ 3 ในรูปแบบทั่วไป:
มีเลขไหนบ้าง.. ยิ่งไปกว่านั้น ดัชนีแรกเราหมายถึงหมายเลขแถว และดัชนีเราหมายถึงหมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น หมายความว่าตัวเลขนี้อยู่ที่จุดตัดของแถวที่สองและคอลัมน์ที่สาม ลองตั้งคำถามต่อไปนี้: เราจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ดังกล่าวได้อย่างไร? นั่นคือเราจะเปรียบเทียบกับจำนวนใดโดยเฉพาะ? สำหรับปัจจัยลำดับที่สาม จะมีกฎสามเหลี่ยมแบบฮิวริสติก (ภาพ) ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้:
- ผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก (จากมุมซ้ายบนไปขวาล่าง) ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมแรก “ตั้งฉาก” กับเส้นทแยงมุมหลัก ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมที่สอง “ตั้งฉาก” กับ เส้นทแยงมุมหลัก
- ผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิ (จากมุมขวาบนไปซ้ายล่าง) ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมแรก “ตั้งฉาก” กับเส้นทแยงมุมรอง ผลคูณขององค์ประกอบที่สร้างสามเหลี่ยมที่สอง “ตั้งฉาก” กับ เส้นทแยงมุมรอง
- จากนั้นดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลต่างระหว่างค่าที่ได้รับในขั้นตอน และ
ถ้าเราเขียนทั้งหมดนี้ลงในตัวเลข เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้:
อย่างไรก็ตามคุณไม่จำเป็นต้องจำวิธีการคำนวณในรูปแบบนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะเก็บรูปสามเหลี่ยมไว้ในหัวและความคิดที่ว่าอะไรจะรวมกันเป็นอะไรและอะไรจะถูกลบออกจากอะไร)
เรามาแสดงวิธีสามเหลี่ยมด้วยตัวอย่าง:
1. คำนวณดีเทอร์มิแนนต์:
มาดูกันว่าเราบวกอะไรและลบอะไร:
ข้อกำหนดที่มาพร้อมกับข้อดี:
นี่คือเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบมีค่าเท่ากับ
สามเหลี่ยมรูปแรก "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบทั้งสองมีค่าเท่ากับ
สามเหลี่ยมที่สอง "ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก: ผลคูณขององค์ประกอบทั้งสองมีค่าเท่ากับ
บวกเลขสามตัว:
เงื่อนไขที่มาพร้อมกับเครื่องหมายลบ
นี่คือเส้นทแยงมุมด้านข้าง: ผลคูณขององค์ประกอบมีค่าเท่ากับ
สามเหลี่ยมรูปแรก “ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมทุติยภูมิ: ผลคูณขององค์ประกอบทั้งสองมีค่าเท่ากับ
สามเหลี่ยมที่สอง “ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมทุติยภูมิ: ผลคูณขององค์ประกอบทั้งสองมีค่าเท่ากับ
บวกเลขสามตัว:
สิ่งที่ต้องทำคือลบผลรวมของเงื่อนไข "บวก" ออกจากผลรวมของเงื่อนไข "ลบ":
ดังนั้น,
อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนหรือเหนือธรรมชาติในการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม สิ่งสำคัญคือต้องจำเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและอย่าทำผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ ทีนี้ลองคำนวณด้วยตัวเอง:
เราตรวจสอบ:
- สามเหลี่ยมแรกตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก:
- สามเหลี่ยมที่สองตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมหลัก:
- ผลรวมของพจน์บวก:
- สามเหลี่ยมแรกตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมรอง:
- สามเหลี่ยมที่สองตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมด้านข้าง:
- ผลรวมของพจน์ที่มีเครื่องหมายลบ:
- ผลรวมของเงื่อนไขที่มีเครื่องหมายบวกลบ ผลรวมของเงื่อนไขที่มีเครื่องหมายลบ:
ต่อไปนี้เป็นตัวกำหนดอีกสองสามตัว คำนวณค่าของมันเองและเปรียบเทียบกับคำตอบ:
คำตอบ:
ทุกอย่างตรงกันหรือเปล่า? เยี่ยมมาก ถ้าอย่างนั้นคุณก็สามารถเดินหน้าต่อไปได้! หากมีปัญหาคำแนะนำของฉันคือ: มีโปรแกรมมากมายบนอินเทอร์เน็ตสำหรับคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ทางออนไลน์ สิ่งที่คุณต้องทำก็แค่หาปัจจัยกำหนดของคุณเอง คำนวณด้วยตัวเอง แล้วเปรียบเทียบกับสิ่งที่โปรแกรมคำนวณ และต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งผลลัพธ์เริ่มตรงกัน ฉันแน่ใจว่าช่วงเวลานี้จะใช้เวลาไม่นานที่จะมาถึง!
ทีนี้ลองกลับไปที่ดีเทอร์มิแนนต์ที่ฉันเขียนไว้เมื่อฉันพูดถึงสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด:
สิ่งที่คุณต้องมีคือคำนวณค่าของมันโดยตรง (โดยใช้วิธีสามเหลี่ยม) และตั้งค่าผลลัพธ์ให้เป็นศูนย์ โดยปกติแล้ว เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นตัวแปร คุณจะได้รับนิพจน์บางอย่างที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรเหล่านั้น นิพจน์นี้จะเป็นสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุดซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน!
เรามาอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ:
1. สร้างสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ
เรารวบรวมดีเทอร์มิแนนต์สำหรับจุดสามจุดเหล่านี้:
มาทำให้ง่ายขึ้น:
ตอนนี้เราคำนวณโดยตรงโดยใช้กฎสามเหลี่ยม:
\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ right|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]
ดังนั้นสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ คือ:
ทีนี้ลองแก้ไขปัญหาหนึ่งด้วยตัวเอง แล้วเราจะหารือกัน:
2. หาสมการของระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ
ตอนนี้เรามาหารือเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา:
มาสร้างปัจจัยกำหนดกัน:
และคำนวณมูลค่าของมัน:
จากนั้นสมการของระนาบจะมีรูปแบบ:
หรือลดลงเราจะได้:
ตอนนี้มีสองงานสำหรับการควบคุมตนเอง:
- สร้างสมการของระนาบที่ผ่านจุดสามจุด:
คำตอบ:
ทุกอย่างตรงกันหรือเปล่า? อีกครั้งหากมีปัญหาบางอย่างคำแนะนำของฉันคือ: เอาสามแต้มออกจากหัวของคุณ (มีความเป็นไปได้สูงที่พวกมันจะไม่นอนเป็นเส้นตรงเดียวกัน) สร้างเครื่องบินตามพวกมัน แล้วคุณตรวจสอบตัวเองออนไลน์ ตัวอย่างเช่น บนเว็บไซต์:
อย่างไรก็ตาม ด้วยความช่วยเหลือของปัจจัยกำหนด เราจะไม่เพียงสร้างสมการของระนาบเท่านั้น จำไว้, ฉันบอกคุณไปแล้วว่าไม่เพียงแต่ดอทโปรดัคเท่านั้นที่ถูกกำหนดให้กับเวกเตอร์ นอกจากนี้ยังมีผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เช่นเดียวกับผลิตภัณฑ์ผสม และถ้าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวเป็นตัวเลข ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นเวกเตอร์ และเวกเตอร์นี้จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด:
นอกจากนี้โมดูลของมันจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์และ เราจะต้องใช้เวกเตอร์นี้เพื่อคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง เราจะคำนวณผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ได้อย่างไร และหากได้รับพิกัดแล้ว ตัวกำหนดลำดับที่ 3 มาช่วยเราอีกครั้ง อย่างไรก็ตาม ก่อนที่ฉันจะไปยังอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณผลคูณเวกเตอร์ ฉันต้องทำการพูดนอกเรื่องเล็กน้อย
การพูดนอกเรื่องนี้เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์พื้นฐาน
แสดงไว้เป็นแผนผังในรูป:
ทำไมคุณถึงคิดว่าพวกเขาเรียกว่าพื้นฐาน? ความจริงก็คือ:
หรือในภาพ:
ความถูกต้องของสูตรนี้ชัดเจน เนื่องจาก:
งานศิลปะของเว็กเตอร์
ตอนนี้ฉันสามารถเริ่มแนะนำผลิตภัณฑ์ข้าม:
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ ซึ่งคำนวณตามกฎต่อไปนี้:
ตอนนี้ เรามายกตัวอย่างการคำนวณผลคูณไขว้กัน:
ตัวอย่างที่ 1: ค้นหาผลคูณไขว้ของเวกเตอร์:
วิธีแก้ไข: ฉันสร้างดีเทอร์มิแนนต์ขึ้นมา:
และฉันคำนวณมัน:
ตอนนี้จากการเขียนเวกเตอร์พื้นฐาน ฉันจะกลับไปใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์ปกติ:
ดังนั้น:
ตอนนี้ลองมัน
พร้อม? เราตรวจสอบ:
และตามธรรมเนียมสองอย่าง งานสำหรับการควบคุม:
- ค้นหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ต่อไปนี้:
- ค้นหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ต่อไปนี้:
คำตอบ:
ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัว
โครงสร้างสุดท้ายที่ฉันต้องการคือผลคูณผสมของเวกเตอร์ 3 ตัว มันก็เหมือนกับสเกลาร์ก็คือตัวเลข มีสองวิธีในการคำนวณ - ผ่านดีเทอร์มิแนนต์ - ผ่านผลิตภัณฑ์ผสม
กล่าวคือ ให้เราได้รับเวกเตอร์สามตัว:
จากนั้นสามารถคำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวซึ่งเขียนแทนด้วยได้ดังนี้:
1. - นั่นคือผลคูณผสมคือผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์อีกสองตัว
ตัวอย่างเช่น ผลคูณผสมของเวกเตอร์สามตัวคือ:
ลองคำนวณด้วยตัวเองโดยใช้ผลคูณเวกเตอร์และตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ตรงกัน!
และอีกครั้ง สองตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
คำตอบ:
การเลือกระบบพิกัด
ตอนนี้เรามีพื้นฐานความรู้ที่จำเป็นทั้งหมดแล้วในการแก้ปัญหาเรขาคณิตสามมิติที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตามก่อนที่จะดำเนินการโดยตรงต่อตัวอย่างและอัลกอริธึมในการแก้ปัญหาเหล่านี้ฉันเชื่อว่าการถามคำถามต่อไปนี้จะมีประโยชน์: อย่างไรอย่างแน่นอน เลือกระบบพิกัดสำหรับตัวเลขเฉพาะท้ายที่สุดแล้วมันคือการเลือกตำแหน่งสัมพัทธ์ของระบบพิกัดและตัวเลขในอวกาศที่จะกำหนดว่าการคำนวณจะยุ่งยากในท้ายที่สุด
ฉันขอเตือนคุณว่าในส่วนนี้เราจะพิจารณาตัวเลขต่อไปนี้:
- เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน
- ปริซึมตรง (สามเหลี่ยม หกเหลี่ยม...)
- พีระมิด (สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม)
- จัตุรมุข (แบบเดียวกับปิรามิดสามเหลี่ยม)
สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือลูกบาศก์ ฉันขอแนะนำให้คุณสร้างสิ่งต่อไปนี้:
นั่นคือฉันจะวางร่าง "ไว้ที่มุม" ลูกบาศก์และสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นตัวเลขที่ดีมาก สำหรับพวกเขา คุณสามารถค้นหาพิกัดของจุดยอดได้อย่างง่ายดาย เช่น ถ้า (ตามภาพ)
จากนั้นพิกัดของจุดยอดจะเป็นดังนี้:
แน่นอน คุณไม่จำเป็นต้องจำสิ่งนี้ แต่แนะนำให้จำไว้ว่าวิธีที่ดีที่สุดในการวางตำแหน่งลูกบาศก์หรือสี่เหลี่ยมขนานกัน
ปริซึมตรง
ปริซึมเป็นตัวเลขที่เป็นอันตรายมากกว่า สามารถจัดวางในอวกาศได้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกต่อไปนี้ดูเหมือนจะเป็นที่ยอมรับมากที่สุดสำหรับฉัน:
ปริซึมสามเหลี่ยม:
นั่นคือเราวางด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมไว้บนแกนทั้งหมด และจุดยอดด้านหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับที่มาของพิกัด
ปริซึมหกเหลี่ยม:
นั่นคือจุดยอดด้านหนึ่งตรงกับจุดกำเนิดและด้านหนึ่งวางอยู่บนแกน
ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม:
สถานการณ์คล้ายกับลูกบาศก์: เราจัดทั้งสองด้านของฐานให้ตรงกับแกนพิกัด และจัดจุดยอดด้านใดด้านหนึ่งให้ตรงกับที่มาของพิกัด ความยากเพียงเล็กน้อยเท่านั้นคือการคำนวณพิกัดของจุด
สำหรับปิรามิดหกเหลี่ยม - เช่นเดียวกับปริซึมหกเหลี่ยม ภารกิจหลักอีกครั้งคือการค้นหาพิกัดของจุดยอด
จัตุรมุข (ปิรามิดสามเหลี่ยม)
สถานการณ์นี้คล้ายกับที่ฉันให้ไว้สำหรับปริซึมสามเหลี่ยมมาก โดยมีจุดยอดหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด ส่วนด้านหนึ่งอยู่บนแกนพิกัด
ในที่สุดคุณและฉันก็ใกล้จะเริ่มแก้ไขปัญหาแล้ว จากสิ่งที่ฉันพูดในตอนต้นของบทความ คุณสามารถสรุปได้ดังนี้ ปัญหา C2 ส่วนใหญ่แบ่งออกเป็น 2 ประเภท: ปัญหามุมและปัญหาระยะทาง อันดับแรก เราจะมาดูปัญหาในการหามุมกันก่อน พวกเขาจะแบ่งออกเป็นหมวดหมู่ต่อไปนี้ (เมื่อความซับซ้อนเพิ่มขึ้น):
ปัญหาในการหามุม
- การหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น
- การหามุมระหว่างระนาบสองระนาบ
ลองดูปัญหาเหล่านี้ตามลำดับ เริ่มจากการหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นกันก่อน จำไว้ว่าคุณกับฉันเคยแก้ไขตัวอย่างที่คล้ายกันมาก่อนหรือเปล่า คุณจำได้ไหม เรามีบางอย่างที่คล้ายกันอยู่แล้ว... เรากำลังมองหามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว ฉันขอเตือนคุณหากให้เวกเตอร์สองตัว: แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์จะพบจากความสัมพันธ์:
ตอนนี้เป้าหมายของเราคือหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น ลองดูที่ "ภาพแบน":
เราได้มุมกี่มุมเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน? เพียงไม่กี่สิ่ง จริงอยู่ที่มีเพียงสองคนเท่านั้นที่ไม่เท่ากัน ในขณะที่อีกสองคนอยู่ในแนวดิ่ง (และดังนั้นจึงตรงกับพวกเขา) แล้วมุมไหนที่เราควรพิจารณาถึงมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น: หรือ? นี่คือกฎคือ: มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะต้องไม่เกินองศาเสมอ- นั่นคือจากสองมุมเราจะเลือกมุมที่มีการวัดระดับที่น้อยที่สุดเสมอ นั่นคือ ในภาพนี้ มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะเท่ากัน เพื่อไม่ให้รบกวนการค้นหามุมที่เล็กที่สุดของสองมุมในแต่ละครั้ง นักคณิตศาสตร์ผู้ชาญฉลาดจึงแนะนำให้ใช้โมดูลัส ดังนั้น มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจึงถูกกำหนดโดยสูตร:
ในฐานะผู้อ่านที่ตั้งใจฟัง คุณน่าจะมีคำถาม: เราจะได้ตัวเลขเดียวกันกับที่เราต้องใช้ในการคำนวณโคไซน์ของมุมจากที่ไหน? คำตอบ: เราจะนำพวกมันมาจากเวกเตอร์ทิศทางของเส้น! ดังนั้น อัลกอริธึมในการค้นหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจึงเป็นดังนี้:
- เราใช้สูตร 1
หรือรายละเอียดเพิ่มเติม:
- เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นแรก
- เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงที่สอง
- เราคำนวณโมดูลัสของผลิตภัณฑ์สเกลาร์
- เรากำลังหาความยาวของเวกเตอร์ตัวแรก
- เรากำลังหาความยาวของเวกเตอร์ตัวที่สอง
- คูณผลลัพธ์ของจุดที่ 4 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 5
- เราหารผลลัพธ์ของจุดที่ 3 ด้วยผลลัพธ์ของจุดที่ 6 เราได้โคไซน์ของมุมระหว่างเส้น
- หากผลลัพธ์นี้ช่วยให้เราคำนวณมุมได้อย่างแม่นยำ เราจะมองหามัน
- ไม่เช่นนั้น เราก็เขียนผ่านโคไซน์ส่วนโค้ง
เอาล่ะ ถึงเวลาไปยังปัญหาต่างๆ ต่อไป ฉันจะสาธิตวิธีแก้ปัญหาของสองข้อแรกโดยละเอียด ฉันจะนำเสนอวิธีแก้ปัญหาให้กับอีกข้อใน สั้น ๆและสำหรับสองปัญหาสุดท้ายฉันจะให้คำตอบเท่านั้น คุณต้องทำการคำนวณทั้งหมดด้วยตัวเอง
งาน:
1. ทางด้านขวาของเตต-ระ-เอ-เร ให้หามุมระหว่างความสูงของเตต-ระ-เอ-ระกับด้านตรงกลาง
2. ในปิรามีเดหกมุมทางขวามือ ออส-โน-วา-นิยาหนึ่งร้อยมีค่าเท่ากัน และซี่โครงด้านข้างเท่ากัน จงหามุมระหว่างเส้น และ
3. ความยาวของขอบทั้งหมดของ pi-ra-mi-dy ถ่านหินสี่ตัวที่ถูกต้องจะเท่ากัน ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงและถ้ามาจากการตัด - คุณอยู่ที่ pi-ra-mi-dy ที่กำหนด ประเด็นคือ se-re-di-on ของซี่โครง bo-co-second
4. ที่ขอบของลูกบาศก์มีจุดหนึ่ง ดังนั้น จงหามุมระหว่างเส้นตรง และ
5. ชี้ - บนขอบของลูกบาศก์ หามุมระหว่างเส้นตรงและ
ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจัดเรียงงานตามลำดับนี้ ในขณะที่คุณยังไม่ได้เริ่มใช้วิธีพิกัด ฉันจะวิเคราะห์ตัวเลขที่ "มีปัญหา" มากที่สุดด้วยตัวเอง และปล่อยให้คุณจัดการกับคิวบ์ที่ง่ายที่สุด! คุณจะต้องเรียนรู้วิธีทำงานกับตัวเลขทั้งหมดทีละน้อย ฉันจะเพิ่มความซับซ้อนของงานจากหัวข้อหนึ่งไปอีกหัวข้อหนึ่ง
มาเริ่มแก้ไขปัญหากันดีกว่า:
1. วาดจัตุรมุขวางไว้ในระบบพิกัดตามที่ผมแนะนำไปก่อนหน้านี้ เนื่องจากจัตุรมุขเป็นแบบปกติ ใบหน้าทั้งหมด (รวมทั้งฐานด้วย) จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ เนื่องจากเราไม่ได้กำหนดความยาวของด้านไว้ ผมจึงทำให้มันเท่ากันได้ ฉันคิดว่าคุณเข้าใจว่ามุมนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าจัตุรมุขของเรา "ยืด" มากแค่ไหน? ฉันจะวาดส่วนสูงและค่ามัธยฐานในจัตุรมุขด้วย ระหว่างทางฉันจะวาดฐานของมัน (มันจะมีประโยชน์สำหรับเราด้วย)
ฉันต้องหามุมระหว่าง และ เรารู้อะไร? เรารู้แค่พิกัดของจุดเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดต่างๆ ตอนนี้เราคิดว่า: จุดหนึ่งคือจุดตัดของระดับความสูง (หรือเส้นแบ่งครึ่งหรือค่ามัธยฐาน) ของรูปสามเหลี่ยม และจุดคือจุดที่ยกขึ้น จุดที่อยู่ตรงกลางของส่วน ในที่สุดเราก็ต้องหา: พิกัดของจุด: .
เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด: พิกัดของจุด ดูที่รูป: เห็นได้ชัดว่าการประยุกต์จุดเท่ากับศูนย์ (จุดอยู่บนระนาบ) ลำดับของมันเท่ากัน (เนื่องจากเป็นค่ามัธยฐาน) การหาจุดอับของมันนั้นยากกว่า อย่างไรก็ตาม วิธีนี้สามารถกระทำได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พิจารณารูปสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากของมันเท่ากัน และขาข้างหนึ่งของมันเท่ากัน จากนั้น:
ในที่สุดเราก็มี: .
ทีนี้ลองหาพิกัดของจุดกัน เห็นได้ชัดว่าการประยุกต์ของมันมีค่าเท่ากับศูนย์อีกครั้ง และพิกัดของมันก็เหมือนกับจุดนั่นเอง มาหาแอ๊บซิสซาของมันกันเถอะ สิ่งนี้ทำได้ค่อนข้างเล็กน้อยหากคุณจำได้ ความสูงของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยจุดตัดจะถูกแบ่งตามสัดส่วนนับจากด้านบน เนื่องจาก: จากนั้น abscissa ที่ต้องการของจุดซึ่งเท่ากับความยาวของส่วนจะเท่ากับ: . ดังนั้นพิกัดของจุดคือ:
เรามาค้นหาพิกัดของจุดกัน เป็นที่ชัดเจนว่า abscissa และ ordinate ตรงกับ abscissa และ ordinate ของจุด และแอปพลิเคชันจะเท่ากับความยาวของส่วน - นี่คือหนึ่งในขาของสามเหลี่ยม ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมคือส่วน - ขา มันถูกค้นหาด้วยเหตุผลที่ฉันเน้นด้วยตัวหนา:
จุดที่อยู่ตรงกลางของส่วน จากนั้นเราต้องจำสูตรพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน:
เพียงเท่านี้ เราก็สามารถค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางได้แล้ว:
ทุกอย่างพร้อมแล้ว: เราแทนที่ข้อมูลทั้งหมดลงในสูตร:
ดังนั้น,
คำตอบ:
คุณไม่ควรกลัวคำตอบที่ "น่ากลัว" เช่นนี้ สำหรับปัญหา C2 นี่เป็นเรื่องธรรมดา ฉันค่อนข้างจะแปลกใจกับคำตอบที่ "สวยงาม" ในส่วนนี้ อย่างที่คุณสังเกตเห็น ฉันไม่ได้หันไปใช้สิ่งอื่นใดนอกจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสและสมบัติของความสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่นคือ เพื่อแก้ปัญหาสเตอริโอเมตริก ฉันใช้ค่าสเตอริโอเมตริกขั้นต่ำสุด กำไรในส่วนนี้ "ดับ" บางส่วนด้วยการคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยาก แต่พวกมันค่อนข้างเป็นอัลกอริธึม!
2. ให้เราพรรณนาปิรามิดหกเหลี่ยมปกติพร้อมกับระบบพิกัดและฐานของมัน:
เราต้องหามุมระหว่างเส้นกับ ดังนั้นงานของเราจึงลงมาเพื่อค้นหาพิกัดของจุด: . เราจะค้นหาพิกัดของสามจุดสุดท้ายโดยใช้ภาพวาดเล็กๆ และเราจะค้นหาพิกัดของจุดยอดผ่านพิกัดของจุดนั้น มีงานมากมายที่ต้องทำ แต่เราต้องเริ่มต้น!
ก) พิกัด: ชัดเจนว่าการนำไปใช้และการเรียงลำดับมีค่าเท่ากับศูนย์ มาหาแอบซิสซ่ากันเถอะ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อนิจจา ในนั้นเรารู้แค่ด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งเท่ากัน เราจะพยายามค้นหาขา (เพราะชัดเจนว่าความยาวสองเท่าของขาจะทำให้เรามีจุดขาด) เราจะมองหามันได้อย่างไร? จำไว้ว่าเรามีรูปร่างแบบไหนที่ฐานของปิรามิด? นี่คือรูปหกเหลี่ยมปกติ มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่าทุกด้านและทุกมุมเท่ากัน เราต้องหามุมแบบนั้นสักมุมหนึ่ง มีความคิดอะไรบ้าง? มีแนวคิดมากมาย แต่มีสูตร:
ผลรวมของมุมของ n-gon ปกติคือ .
ดังนั้น ผลรวมของมุมของรูปหกเหลี่ยมปกติจึงเท่ากับองศา จากนั้นแต่ละมุมจะเท่ากับ:
มาดูภาพกันอีกครั้ง เห็นได้ชัดว่าส่วนนั้นเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม แล้วมุมก็เท่ากับองศา แล้ว:
แล้วมาจากไหน..
จึงมีพิกัด
b) ตอนนี้เราสามารถค้นหาพิกัดของจุดได้อย่างง่ายดาย: .
c) ค้นหาพิกัดของจุด เนื่องจากการตัดออกเกิดขึ้นพร้อมกับความยาวของส่วน จึงมีค่าเท่ากัน การค้นหาพิกัดก็ไม่ใช่เรื่องยากเช่นกัน: ถ้าเราเชื่อมต่อจุดและกำหนดจุดตัดของเส้นดังเช่น . (ก่อสร้างง่ายๆด้วยตัวเอง) ดังนั้น พิกัดของจุด B จึงเท่ากับผลรวมของความยาวของเซ็กเมนต์ ลองดูที่สามเหลี่ยมอีกครั้ง แล้ว
แล้วตั้งแต่นั้นมาจุดก็มีพิกัด
d) ทีนี้ลองหาพิกัดของจุดกัน พิจารณารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแล้วพิสูจน์ว่า ดังนั้นพิกัดของจุดคือ:
e) ยังคงต้องหาพิกัดของจุดยอด เป็นที่ชัดเจนว่า abscissa และ ordinate ตรงกับ abscissa และ ordinate ของจุด เรามาค้นหาแอปพลิเคชั่นกันดีกว่า ตั้งแต่นั้นมา. พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามเงื่อนไขของปัญหาขอบด้านข้าง นี่คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมผม ความสูงของปิรามิดคือขา
จากนั้นจุดนั้นมีพิกัด:
นั่นแหละ ผมมีพิกัดของจุดทั้งหมดที่ผมสนใจแล้ว ฉันกำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
เรากำลังมองหามุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:
คำตอบ:
ขอย้ำอีกครั้งว่า ในการแก้ปัญหานี้ ผมไม่ได้ใช้เทคนิคที่ซับซ้อนใดๆ นอกเหนือจากสูตรสำหรับผลรวมของมุมของ n-gon ปกติ เช่นเดียวกับนิยามของโคไซน์และไซน์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก
3. เนื่องจากเราไม่ได้กำหนดความยาวของขอบในปิรามิดอีกครั้ง ฉันจะถือว่ามันเท่ากับหนึ่ง ดังนั้น เนื่องจากขอบทั้งหมดไม่เพียงแค่ขอบด้านข้างเท่านั้นที่เท่ากัน ดังนั้นที่ฐานของปิรามิดและฉันจึงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัส และใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ให้เราวาดปิรามิดเช่นเดียวกับฐานของมันบนระนาบโดยสังเกตข้อมูลทั้งหมดที่ระบุในข้อความของปัญหา:
เรากำลังมองหามุมระหว่าง และ ฉันจะคำนวณสั้นๆ เมื่อค้นหาพิกัดของจุดต่างๆ คุณจะต้อง "ถอดรหัส" พวกเขา:
b) - ตรงกลางของส่วน พิกัด:
c) ฉันจะหาความยาวของส่วนโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม ฉันสามารถหามันได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม
พิกัด:
d) - ตรงกลางของส่วน พิกัดของมันคือ
จ) พิกัดเวกเตอร์
f) พิกัดเวกเตอร์
g) มองหามุม:
ลูกบาศก์เป็นรูปที่ง่ายที่สุด ฉันแน่ใจว่าคุณจะคิดออกเอง คำตอบของปัญหาที่ 4 และ 5 มีดังนี้:
การหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ
หมดเวลาไขปริศนาง่ายๆ แล้ว! ตอนนี้ตัวอย่างจะซับซ้อนยิ่งขึ้น หากต้องการหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ เราจะดำเนินการดังนี้:
- เราสร้างสมการของระนาบโดยใช้จุดสามจุด
,
ใช้ปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม - ใช้สองจุดค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
- เราใช้สูตรเพื่อคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงและระนาบ:
อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้คล้ายกับสูตรที่เราใช้ในการหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นมาก โครงสร้างทางด้านขวาก็เหมือนเดิม และทางด้านซ้ายเรากำลังหาไซน์ ไม่ใช่โคไซน์เหมือนเมื่อก่อน มีการเพิ่มการกระทำที่น่ารังเกียจอย่างหนึ่ง - ค้นหาสมการของเครื่องบิน
อย่าได้ผัดวันประกันพรุ่ง ตัวอย่างการแก้ปัญหา:
1. ปริซึมตรงหลักแต่วานิเอมคือเราเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีค่าเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ
2. ในรูปสี่เหลี่ยมพาร์รัล-เลอ-เลอ-ปิ-เป-เดอ จากทิศตะวันตก จงหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ
3. ในปริซึมหกมุมด้านขวา ขอบทุกด้านจะเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ
4. ในรูปสามเหลี่ยมด้านขวา pi-ra-mi-de โดยมี os-no-va-ni-em ของซี่โครงที่รู้จัก หามุม ob-ra-zo-van - แบนในฐานและตรงผ่านสีเทา ซี่โครงและ
5. ความยาวของขอบทั้งหมดของ pi-ra-mi-dy รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากด้านขวากับจุดยอดจะเท่ากัน หามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบหากจุดอยู่ด้านข้างของขอบปิรามิดี
ขอย้ำอีกครั้งว่าผมจะแก้ปัญหาสองข้อแรกโดยละเอียด ข้อที่สามสั้นๆ และเหลือสองข้อสุดท้ายให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง นอกจากนี้ คุณต้องจัดการกับปิรามิดรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมอยู่แล้ว แต่ยังไม่ถึงกับปริซึม
โซลูชั่น:
1. ให้เราพรรณนาถึงปริซึมและฐานของมัน มารวมเข้ากับระบบพิกัดและบันทึกข้อมูลทั้งหมดที่ให้ไว้ในคำชี้แจงปัญหา:
ฉันขอโทษสำหรับการไม่ปฏิบัติตามสัดส่วนบางอย่าง แต่สำหรับการแก้ปัญหานี้จริงๆ แล้วไม่สำคัญเลย เครื่องบินเป็นเพียง "ผนังด้านหลัง" ของปริซึมของฉัน ก็เพียงพอที่จะเดาได้ว่าสมการของระนาบดังกล่าวมีรูปแบบ:
อย่างไรก็ตาม สามารถแสดงสิ่งนี้ได้โดยตรง:
ลองเลือกจุดสามจุดบนระนาบนี้ตามอำเภอใจ: ตัวอย่างเช่น
มาสร้างสมการของระนาบกัน:
แบบฝึกหัดสำหรับคุณ: คำนวณปัจจัยกำหนดนี้ด้วยตัวเอง คุณประสบความสำเร็จหรือไม่? จากนั้นสมการของระนาบจะเป็นดังนี้:
หรือเพียงแค่
ดังนั้น,
เพื่อแก้ตัวอย่าง ฉันจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากจุดนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดของพิกัด พิกัดของเวกเตอร์จึงจะตรงกับพิกัดของจุดนั้นเสียก่อน อันดับแรกเราจะหาพิกัดของจุดนั้นก่อน
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยม ลองวาดความสูง (หรือที่เรียกว่าค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่ง) จากจุดยอดกัน เนื่องจากพิกัดของจุดมีค่าเท่ากับ เพื่อที่จะหาค่าขาดของจุดนี้ เราต้องคำนวณความยาวของส่วนนั้น ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราจะได้:
จากนั้นจุดนั้นมีพิกัด:
จุดคือจุดที่ "ยกขึ้น":
จากนั้นพิกัดเวกเตอร์คือ:
คำตอบ:
อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรยากโดยพื้นฐานในการแก้ไขปัญหาดังกล่าว ในความเป็นจริง กระบวนการนี้ทำให้ง่ายขึ้นอีกเล็กน้อยด้วย "ความตรง" ของรูปร่าง เช่น ปริซึม ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างถัดไป:
2. วาดเส้นขนานวาดระนาบและเส้นตรงและวาดฐานล่างแยกกัน:
ขั้นแรก เราค้นหาสมการของระนาบ: พิกัดของจุดสามจุดที่อยู่ในนั้น:
(พิกัดสองตัวแรกจะได้มาในลักษณะที่ชัดเจน และคุณสามารถหาพิกัดสุดท้ายจากรูปภาพจากจุดนั้นได้อย่างง่ายดาย) จากนั้นเราเขียนสมการของระนาบ:
เราคำนวณ:
เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์นำทาง: เห็นได้ชัดว่าพิกัดของมันตรงกับพิกัดของจุดใช่ไหม จะหาพิกัดได้อย่างไร? นี่คือพิกัดของจุด ที่ถูกยกขึ้นตามแกนแอปพลิเคชันทีละหนึ่ง! - จากนั้นเรามองหามุมที่ต้องการ:
คำตอบ:
3. วาดปิรามิดหกเหลี่ยมปกติแล้ววาดระนาบและเส้นตรงในนั้น
การวาดเครื่องบินในที่นี้อาจเป็นปัญหา ไม่ต้องพูดถึงการแก้ปัญหานี้ แต่วิธีการประสานงานไม่สนใจ! ความเก่งกาจของมันคือข้อได้เปรียบหลัก!
เครื่องบินจะผ่านจุดสามจุด: . เรากำลังมองหาพิกัดของพวกเขา:
1) . ค้นหาพิกัดของสองจุดสุดท้ายด้วยตัวเอง คุณจะต้องแก้ปัญหาปิรามิดหกเหลี่ยมเพื่อสิ่งนี้!
2) เราสร้างสมการของระนาบ:
เรากำลังมองหาพิกัดของเวกเตอร์: . (ดูปัญหาปิรามิดสามเหลี่ยมอีกครั้ง!)
3) มองหามุม:
คำตอบ:
อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรที่ยากเหนือธรรมชาติในงานเหล่านี้ คุณเพียงแค่ต้องระวังรากให้มาก ฉันจะให้คำตอบสำหรับปัญหาสองข้อสุดท้ายเท่านั้น:
อย่างที่คุณเห็นเทคนิคในการแก้ปัญหานั้นเหมือนกันทุกที่ ภารกิจหลักคือการค้นหาพิกัดของจุดยอดและแทนที่เป็นสูตรบางอย่าง เรายังต้องพิจารณาปัญหาอีกประเภทหนึ่งสำหรับการคำนวณมุม กล่าวคือ:
การคำนวณมุมระหว่างระนาบสองระนาบ
อัลกอริธึมการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:
- ใช้จุดสามจุดเพื่อค้นหาสมการของระนาบแรก:
- ใช้อีกสามจุดที่เหลือเรามองหาสมการของระนาบที่สอง:
- เราใช้สูตร:
อย่างที่คุณเห็น สูตรนี้คล้ายกับสูตรก่อนหน้ามาก โดยเรามองหามุมระหว่างเส้นตรงและระหว่างเส้นตรงกับระนาบ ดังนั้นการจดจำสิ่งนี้จึงไม่ใช่เรื่องยาก มาดูการวิเคราะห์งานกันดีกว่า:
1. ด้านข้างของฐานของปริซึมสามเหลี่ยมด้านขวาเท่ากัน และเส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างเท่ากัน ค้นหามุมระหว่างระนาบกับระนาบของแกนของปริซึม
2. ปิรามิเดสี่มุมด้านขวาซึ่งมีขอบทั้งหมดเท่ากัน หาไซน์ของมุมระหว่างระนาบกับกระดูกระนาบ โดยผ่านจุดต่อเพน-ดิ-คู- โกหกแต่ตรงไปตรงมา
3. ในปริซึมสี่มุมปกติ ด้านข้างของฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน มีจุดที่ขอบจาก-me-che-on ดังนั้น หามุมระหว่างระนาบกับ
4. ในปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากด้านขวา ด้านข้างของฐานเท่ากัน และขอบด้านข้างเท่ากัน มีจุดบนขอบจากจุดนั้น หามุมระหว่างระนาบและ
5. ในลูกบาศก์ หา co-si-nus ของมุมระหว่างระนาบกับ
วิธีแก้ไขปัญหา:
1. ฉันวาดปริซึมสามเหลี่ยมปกติ (สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ฐาน) แล้วทำเครื่องหมายระนาบที่ปรากฏในคำชี้แจงปัญหา:
เราจำเป็นต้องค้นหาสมการของระนาบสองระนาบ: สมการของฐานนั้นไม่สำคัญ: คุณสามารถเขียนดีเทอร์มิแนนต์ที่สอดคล้องกันได้โดยใช้จุดสามจุด แต่ฉันจะเขียนสมการทันที:
ตอนนี้ เรามาค้นหาสมการที่ Point มีพิกัด Point - เนื่องจากเป็นค่ามัธยฐานและความสูงของรูปสามเหลี่ยม จึงหาได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยม จากนั้นจุดนั้นมีพิกัด: เรามาค้นหาการประยุกต์ใช้จุดกัน โดยพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จากนั้นเราจะได้พิกัดต่อไปนี้ เราเขียนสมการของระนาบ
เราคำนวณมุมระหว่างระนาบ:
คำตอบ:
2. วาดภาพ:
สิ่งที่ยากที่สุดคือการเข้าใจว่านี่คือเครื่องบินลึกลับประเภทใดที่ผ่านจุดนั้นในแนวตั้งฉาก สิ่งสำคัญคือมันคืออะไร? สิ่งสำคัญคือความใส่ใจ! ที่จริงแล้วเส้นนั้นตั้งฉากกัน เส้นตรงก็ตั้งฉากเช่นกัน จากนั้นระนาบที่ผ่านเส้นทั้งสองนี้จะตั้งฉากกับเส้นนั้น และอีกอย่างคือจะผ่านจุดนั้นด้วย เครื่องบินลำนี้ก็ผ่านยอดปิรามิดด้วย จากนั้นเครื่องบินที่ต้องการ - และเครื่องบินก็มอบให้เราแล้ว เรากำลังมองหาพิกัดของจุด
เราค้นหาพิกัดของจุดผ่านจุด จากภาพเล็ก ๆ อนุมานได้ง่าย ๆ ว่าพิกัดของจุดจะเป็นดังนี้ จะต้องค้นหาพิกัดด้านบนของปิรามิดอย่างไร? คุณต้องคำนวณความสูงของมันด้วย ซึ่งทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเดียวกัน ขั้นแรกให้พิสูจน์สิ่งนั้น (เพียงเล็กน้อยจากสามเหลี่ยมเล็กๆ ที่ก่อรูปเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ฐาน) เนื่องจากตามเงื่อนไขเรามี:
ตอนนี้ทุกอย่างพร้อมแล้ว: พิกัดจุดยอด:
เราเขียนสมการของระนาบ:
คุณเป็นผู้เชี่ยวชาญในการคำนวณปัจจัยกำหนดอยู่แล้ว คุณจะได้รับ:
หรืออย่างอื่น (ถ้าเราคูณทั้งสองข้างด้วยรากของทั้งสอง)
ทีนี้ลองหาสมการของระนาบ:
(คุณยังไม่ลืมว่าเราหาสมการระนาบได้อย่างไร ใช่ไหม? ถ้าไม่เข้าใจว่าค่าลบนี้มาจากไหน ให้กลับไปหานิยามของสมการระนาบ! มันมักจะออกมาก่อนหน้านั้นเสมอ เครื่องบินของฉันเป็นของต้นกำเนิดของพิกัด!)
เราคำนวณปัจจัยกำหนด:
(คุณอาจสังเกตได้ว่าสมการของระนาบเกิดขึ้นพร้อมกับสมการของเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ แล้วลองคิดดูว่าทำไม!)
ตอนนี้เรามาคำนวณมุม:
เราจำเป็นต้องค้นหาไซน์:
คำตอบ:
3. คำถามหากิน: คุณคิดว่าปริซึมสี่เหลี่ยมคืออะไร นี่เป็นเพียงรูปขนานที่คุณรู้จักดี! มาวาดรูปกันเถอะ! คุณไม่จำเป็นต้องอธิบายฐานแยกกันด้วยซ้ำ มันมีประโยชน์เพียงเล็กน้อยที่นี่:
ดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ระนาบนั้นเขียนในรูปแบบของสมการ:
ตอนนี้เรามาสร้างเครื่องบินกันดีกว่า
เราสร้างสมการของระนาบทันที:
กำลังมองหามุม:
ตอนนี้คำตอบของปัญหาสองข้อสุดท้าย:
ตอนนี้เป็นเวลาที่จะพักสักหน่อย เพราะคุณและฉันเก่งมากและทำงานได้ดีมาก!
พิกัดและเวกเตอร์ ระดับสูง
ในบทความนี้เราจะหารือกับคุณเกี่ยวกับปัญหาอีกประเภทหนึ่งที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีพิกัด: ปัญหาการคำนวณระยะทาง กล่าวคือเราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้:
- การคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน
ฉันได้สั่งงานเหล่านี้เพื่อเพิ่มความยากขึ้น กลายเป็นว่าหาได้ง่ายที่สุด ระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบและสิ่งที่ยากที่สุดคือการค้นหา ระยะห่างระหว่างเส้นข้าม- แม้ว่าแน่นอนว่าไม่มีอะไรที่เป็นไปไม่ได้! อย่าผัดวันประกันพรุ่งและดำเนินการพิจารณาปัญหาประเภทแรกทันที:
การคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ
เราต้องแก้ไขปัญหานี้อย่างไร?
1. พิกัดจุด
ดังนั้นเมื่อเรามีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว เราก็ใช้สูตร:
คุณควรรู้อยู่แล้วว่าเราสร้างสมการของระนาบจากปัญหาก่อนหน้าที่ฉันพูดถึงในส่วนที่แล้วได้อย่างไร มาตรงไปที่ภารกิจกันดีกว่า โครงการมีดังนี้: 1, 2 - ฉันช่วยคุณตัดสินใจและในรายละเอียดบางอย่าง 3, 4 - เฉพาะคำตอบเท่านั้นที่คุณดำเนินการแก้ปัญหาด้วยตัวเองและเปรียบเทียบ เริ่มกันเลย!
งาน:
1. ให้ลูกบาศก์ ความยาวของขอบของลูกบาศก์เท่ากัน หาระยะทางจากเซเรดินาจากจุดตัดถึงระนาบ
2. เมื่อพิจารณาปิรามีใช่แล้ว ถ่านหินสี่ก้อนทางขวา ด้านข้างของด้านจะเท่ากับฐาน ค้นหาระยะทางจากจุดถึงระนาบโดยที่ - กำหนดใหม่บนขอบ
3. ในรูปสามเหลี่ยมด้านขวา ปิรามิเด กับออส-โน-วา-นิ-เอม ขอบด้านข้างจะเท่ากัน และร้อยโรบนออส-โน-วา-เนียจะเท่ากัน หาระยะทางจากด้านบนถึงระนาบ
4. ในปริซึมหกเหลี่ยมตรง ขอบทุกด้านจะเท่ากัน หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ
โซลูชั่น:
1. วาดลูกบาศก์ที่มีขอบด้านเดียว สร้างส่วนและระนาบ ระบุตรงกลางของส่วนด้วยตัวอักษร
.
ขั้นแรก มาเริ่มด้วยวิธีง่ายๆ: ค้นหาพิกัดของจุด ตั้งแต่นั้นมา (จำพิกัดตรงกลางส่วน!)
ตอนนี้เราเขียนสมการของระนาบโดยใช้จุดสามจุด
\[\ซ้าย| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]
ตอนนี้ฉันสามารถเริ่มค้นหาระยะทางได้แล้ว:
2. เราเริ่มต้นอีกครั้งด้วยภาพวาดที่เราทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมด!
สำหรับปิรามิด การแยกฐานออกจากกันจะเป็นประโยชน์
แม้ว่าฉันจะวาดเหมือนอุ้งเท้าไก่ แต่ก็ไม่ได้ขัดขวางเราจากการแก้ปัญหานี้ได้อย่างง่ายดาย!
ตอนนี้การค้นหาพิกัดของจุดเป็นเรื่องง่าย
เนื่องจากพิกัดของจุดนั้น
2. เนื่องจากพิกัดของจุด a อยู่ตรงกลางของเซ็กเมนต์ ดังนั้น
โดยไม่มีปัญหาใดๆ เราสามารถหาพิกัดของจุดอีกสองจุดบนระนาบได้ เราสร้างสมการสำหรับระนาบและทำให้ง่ายขึ้น:
\[\ซ้าย| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(อาร์เรย์)) \right|) \right| = 0\]
เนื่องจากจุดมีพิกัด: เราจึงคำนวณระยะทาง:
คำตอบ (หายากมาก!):
คุณคิดออกแล้วหรือยัง? สำหรับฉันดูเหมือนว่าทุกอย่างที่นี่เป็นเพียงเรื่องทางเทคนิคเหมือนกับในตัวอย่างที่เราดูในส่วนที่แล้ว ดังนั้นฉันแน่ใจว่าหากคุณเชี่ยวชาญเนื้อหานั้นแล้ว มันก็จะไม่ใช่เรื่องยากสำหรับคุณที่จะแก้ไขปัญหาอีกสองข้อที่เหลือ ฉันจะให้คำตอบแก่คุณ:
การคำนวณระยะทางจากเส้นตรงถึงระนาบ
อันที่จริงไม่มีอะไรใหม่ที่นี่ เส้นตรงและระนาบสามารถวางตำแหน่งให้สัมพันธ์กันได้อย่างไร? พวกมันมีความเป็นไปได้ทางเดียวเท่านั้น: ตัดกัน หรือเส้นตรงขนานกับระนาบ คุณคิดว่าระยะห่างจากเส้นตรงถึงระนาบที่เส้นตรงนี้ตัดกันคือเท่าใด สำหรับฉันดูเหมือนว่าชัดเจนว่าระยะทางดังกล่าวเท่ากับศูนย์ ไม่ใช่กรณีที่น่าสนใจ
กรณีที่สองนั้นซับซ้อนกว่า: ระยะทางที่นี่ไม่เป็นศูนย์อยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเส้นขนานกับระนาบ จุดแต่ละจุดของเส้นจึงมีระยะห่างจากระนาบนี้เท่ากัน:
ดังนั้น:
ซึ่งหมายความว่างานของฉันถูกลดขนาดลงเหลืองานก่อนหน้า: เรากำลังมองหาพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นตรง ค้นหาสมการของระนาบ และคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ ในความเป็นจริง งานดังกล่าวหาได้ยากมากในการสอบ Unified State ฉันจัดการเพื่อค้นหาปัญหาเดียวเท่านั้น และข้อมูลในนั้นก็ใช้วิธีพิกัดไม่ได้กับมันมากนัก!
ตอนนี้เรามาดูปัญหาอื่นที่สำคัญกว่ากัน:
การคำนวณระยะทางของจุดถึงเส้น
เราต้องการอะไร?
1. พิกัดของจุดที่เรากำลังมองหาระยะทาง:
2. พิกัดของจุดใดๆ ที่อยู่ในเส้นตรง
3. พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง
เราใช้สูตรอะไรคะ?
ความหมายของตัวหารของเศษส่วนนี้ควรชัดเจนสำหรับคุณ นี่คือความยาวของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง นี่เป็นตัวเศษที่ยุ่งยากมาก! นิพจน์หมายถึงโมดูลัส (ความยาว) ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ และวิธีการคำนวณผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราศึกษาในส่วนก่อนหน้าของงาน รีเฟรชความรู้ของคุณ ตอนนี้เราต้องการมันอย่างมาก!
ดังนั้นอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาจะเป็นดังนี้:
1. เรากำลังมองหาพิกัดของจุดที่เรากำลังมองหาระยะทาง:
2. เรากำลังมองหาพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นที่เรากำลังมองหาระยะทาง:
3. สร้างเวกเตอร์
4. สร้างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง
5. คำนวณผลคูณเวกเตอร์
6. เราค้นหาความยาวของเวกเตอร์ผลลัพธ์:
7. คำนวณระยะทาง:
เรามีงานต้องทำอีกมาก และตัวอย่างจะค่อนข้างซับซ้อน! ตอนนี้มุ่งความสนใจของคุณทั้งหมด!
1. ให้ปิระมีดาสามเหลี่ยมมุมฉากมียอด ร้อยโรตามปิรามีดี เท่ากับ คุณก็เท่ากัน จงหาระยะห่างจากขอบสีเทาถึงเส้นตรง โดยที่จุด และคือขอบสีเทา และจากสัตวแพทยศาสตร์
2. ความยาวของซี่โครงและเส้นตรงมุมไม่ไป พาร์รัล-เลอ-เลอ-ปิ-เป-ดา เท่ากัน และจงหาระยะห่างจากบนถึงเส้นตรง
3. ในปริซึมตรงฐานหกเหลี่ยม ขอบทุกด้านเท่ากัน จงหาระยะห่างจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรง
โซลูชั่น:
1. เราสร้างภาพวาดที่เรียบร้อยซึ่งเราทำเครื่องหมายข้อมูลทั้งหมด:
เรามีงานต้องทำอีกมาก! ก่อนอื่นฉันอยากจะอธิบายด้วยคำพูดว่าเราจะหาอะไรและเรียงลำดับอย่างไร:
1.พิกัดจุดและ
2. พิกัดจุด
3.พิกัดจุดและ
4. พิกัดของเวกเตอร์และ
5. ผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา
6. ความยาวเวกเตอร์
7. ความยาวของผลคูณเวกเตอร์
8. ระยะทางจากถึง
เรามีงานรออยู่ข้างหน้าอีกมาก! เรามาพับแขนเสื้อกันเถอะ!
1. ในการค้นหาพิกัดความสูงของปิรามิด เราต้องรู้พิกัดของจุดนั้น เนื่องจาก คือ ความสูงของส่วน เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยแบ่งตามอัตราส่วน นับจากจุดยอด จากตรงนี้ ในที่สุดเราก็ได้พิกัด:
พิกัดจุด
2. - ตรงกลางของส่วน
3. - ตรงกลางของเซ็กเมนต์
จุดกึ่งกลางของส่วน
4.พิกัด
พิกัดเวกเตอร์
5. คำนวณผลคูณเวกเตอร์:
6. ความยาวของเวกเตอร์: วิธีที่ง่ายที่สุดในการแทนที่คือ ส่วนนั้นคือเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่าส่วนนั้นเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน ดังนั้น.
7. คำนวณความยาวของผลคูณเวกเตอร์:
8. ในที่สุด เราก็พบระยะทาง:
เออนั่นแหละ! ฉันจะบอกคุณอย่างตรงไปตรงมา: การแก้ปัญหานี้โดยใช้วิธีดั้งเดิม (ผ่านการก่อสร้าง) จะเร็วกว่ามาก แต่ที่นี่ฉันลดทุกอย่างให้เป็นอัลกอริธึมสำเร็จรูป! ฉันคิดว่าอัลกอริทึมการแก้ปัญหาชัดเจนสำหรับคุณ ดังนั้นฉันจะขอให้คุณแก้ไขปัญหาสองข้อที่เหลือด้วยตัวเอง มาเปรียบเทียบคำตอบกัน?
ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าการแก้ปัญหาเหล่านี้ผ่านการก่อสร้างง่ายกว่า (เร็วกว่า) แทนที่จะหันไปใช้วิธีประสานงาน ฉันสาธิตวิธีแก้ปัญหานี้เพื่อแสดงให้คุณเห็นเท่านั้น วิธีการสากลซึ่งช่วยให้คุณ “สร้างอะไรไม่เสร็จ”
สุดท้าย ให้พิจารณาปัญหาระดับสุดท้าย:
การคำนวณระยะห่างระหว่างเส้นที่ตัดกัน
ที่นี่อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาจะคล้ายกับขั้นตอนก่อนหน้า เรามีอะไร:
3. เวกเตอร์ใดๆ ที่เชื่อมจุดของเส้นแรกและเส้นที่สอง:
เราจะหาระยะห่างระหว่างเส้นได้อย่างไร?
สูตรมีดังนี้:
ตัวเศษคือโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสม (เราแนะนำไปแล้วในส่วนที่แล้ว) และตัวส่วนก็เหมือนกับในสูตรก่อนหน้า (โมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ระยะห่างระหว่างที่เรา กำลังมองหา).
ฉันจะเตือนคุณว่า
แล้ว สูตรสำหรับระยะทางสามารถเขียนใหม่ได้เป็น:
นี่คือดีเทอร์มิแนนต์หารด้วยดีเทอร์มิแนนต์! แม้ว่าพูดตามตรงว่าฉันไม่มีเวลาตลกที่นี่! สูตรนี้อันที่จริงแล้ว ยุ่งยากมากและนำไปสู่การคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อน ถ้าฉันเป็นคุณ ฉันจะใช้มันเป็นทางเลือกสุดท้ายเท่านั้น!
ลองแก้ไขปัญหาเล็กน้อยโดยใช้วิธีการข้างต้น:
1. ในปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ขอบทุกด้านเท่ากัน จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง และ
2. เมื่อพิจารณาจากปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว ขอบทั้งหมดของฐานจะเท่ากับส่วนที่ทะลุผ่านซี่โครงตัว และซี่โครง se-re-di-well จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับ
ฉันตัดสินใจอย่างแรก และจากข้อมูลนั้น คุณเป็นคนตัดสินใจอย่างที่สอง!
1. ฉันวาดปริซึมและทำเครื่องหมายเส้นตรงและ
พิกัดของจุด C:แล้ว
พิกัดจุด
พิกัดเวกเตอร์
พิกัดจุด
พิกัดเวกเตอร์
พิกัดเวกเตอร์
\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(อาร์เรย์))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]
เราคำนวณผลคูณเวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์และ
\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array) )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(อาร์เรย์)\end(อาร์เรย์) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]
ตอนนี้เราคำนวณความยาวของมัน:
คำตอบ:
ตอนนี้พยายามทำงานที่สองให้สำเร็จอย่างระมัดระวัง คำตอบที่ได้จะเป็น: .
พิกัดและเวกเตอร์ คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน
เวกเตอร์เป็นส่วนที่มีทิศทาง - จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ - จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
เวกเตอร์เขียนแทนด้วยหรือ
มูลค่าสัมบูรณ์เวกเตอร์ - ความยาวของส่วนที่เป็นตัวแทนของเวกเตอร์ แสดงว่า.
พิกัดเวกเตอร์:
,
จุดสิ้นสุดของ vector \displaystyle a อยู่ที่ไหน
ผลรวมของเวกเตอร์: .
ผลคูณของเวกเตอร์:
ผลคูณดอทของเวกเตอร์:
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:
บทความ 2/3 ที่เหลือมีไว้สำหรับนักเรียนที่ฉลาดเท่านั้น!
มาเป็นนักเรียน YouClever
เตรียมสอบ Unified State หรือ Unified State วิชาคณิตศาสตร์ ในราคา “กาแฟเดือนละแก้ว”
และยังเข้าถึงหนังสือเรียน “YouClever” ได้ไม่จำกัด โปรแกรมเตรียมการ “100gia” (หนังสือแก้ปัญหา) การสอบ Unified State และ Unified State แบบทดลองใช้ไม่จำกัด ปัญหา 6,000 ข้อเกี่ยวกับการวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา และบริการ YouClever และ 100gia อื่นๆ
