ನಾನು ತರಬೇತಿಯ ಮೂಲಕ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನಾಗಿದ್ದೇನೆ, ಆದರೆ ನನಗೆ ಉತ್ತಮ ಗಣಿತದ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಇದೆ. ಸ್ನಾತಕೋತ್ತರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಿಷಯದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವು ಒಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕಾಗದವನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ವಿಲಕ್ಷಣವಾದದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ. ನಾನು ಹೊಸಬನಂತೆ ನಟಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ / ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ನಾನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ. ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನನ್ನ ಮೇಲೆ ಕಲ್ಲುಗಳನ್ನು ಎಸೆಯಬಹುದು, ರಚನಾತ್ಮಕ ಟೀಕೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನಾನು ಕೃತಜ್ಞರಾಗಿರುತ್ತೇನೆ.

ಪಿ.ಎಸ್. ಬಹಳ "ಶುಷ್ಕ ಭಾಷೆ", ಆದರೆ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ನಂತರ ಸಾಕಷ್ಟು ಓದಬಹುದಾಗಿದೆ. ಬಹುಪಾಲು, ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ (ಸರಳೀಕೃತ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧ-ತಯಾರಿಸಿದ TeX ಮಾರ್ಕ್ಅಪ್).

ಪರಿಚಯ

ಎರಡೂ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ, ಕೇವಲ ನೂರು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ದೂರ ಪ್ರಯಾಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಖೆಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಅನಂತತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅದರ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷರಶಃ ಅರ್ಧ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು.

ಸೆಟ್ ಎಂದರೇನು? ಪ್ರಶ್ನೆ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವು ಸಾಕಷ್ಟು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ತನ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾನೆ: "ಸೆಟ್" ಎಂದರೆ ನಮ್ಮ ಆಲೋಚನೆ ಅಥವಾ ನಮ್ಮ ಆಲೋಚನೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಪೂರ್ಣ M ಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. ಎಂ). ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಾರವು ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಿರ್ಧರಿಸುವವರ ವಿಶ್ವ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಆ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಇತಿಹಾಸವು ಬಹಳ ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದನ್ನು 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ನಂತರ ರಸ್ಸೆಲ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದರು.

ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು (ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ) - (ಗ್ರೀಕ್ - ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ) - ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಔಪಚಾರಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು. ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ (ವಿರೋಧಾಭಾಸ) ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಾಗ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಒಳಗೆ ಎರಡೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ರಸೆಲ್‌ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್: "ಗ್ರಾಮ ಕ್ಷೌರಿಕನು ತನ್ನನ್ನು ಕ್ಷೌರ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದ ಅವರ ಹಳ್ಳಿಯ ನಿವಾಸಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕ್ಷೌರ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಸ್ವತಃ ಕ್ಷೌರ ಮಾಡಬೇಕೇ?"). ಔಪಚಾರಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಸತ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುವುದರಿಂದ (ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ವಾಕ್ಯವು ನಿಜ ಮತ್ತು ಸುಳ್ಳು ಎರಡೂ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ), ಅಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮತ್ತು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು. ಸಮಸ್ಯೆ ತಾತ್ವಿಕ ತಿಳುವಳಿಕೆವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಪರಿಹಾರಗಳು ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತಾರ್ಕಿಕ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಈ ಕೆಲಸದ ಉದ್ದೇಶವು ಪ್ರಾಚೀನ ವಿರೋಧಿಗಳ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿಗಳಾಗಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಹೊಸ ಮಟ್ಟದ ಅಮೂರ್ತತೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು - ಅನಂತ. ಮುಖ್ಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ತಾತ್ವಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು

ಕ್ಷೌರಿಕರು ತಮ್ಮನ್ನು ಕ್ಷೌರ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದ ಜನರಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ಷೌರ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಅವನು ಸ್ವತಃ ಕ್ಷೌರ ಮಾಡುತ್ತಾನೆಯೇ?

ಇತಿಹಾಸದ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ವಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ.

ಕೆಲವು ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ತಿಳಿದಿವೆ, ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿತ್ತು. 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಆಮೂಲಾಗ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿತು: ಕ್ಯಾಂಟರ್ ತನ್ನ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಹೊಸ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪಿದನು. ಅವರು ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಆ ಮೂಲಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೊಸ ಶಾಖೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ "ಒಂದು ಸೆಟ್ನ ಶಕ್ತಿ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅನಂತಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಾಗೆ ಮಾಡುವಾಗ, ಇದು ಅನೇಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು. ಮೊದಲನೆಯದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದು ಬುರಾಲಿ-ಫೋರ್ಟಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸ. ಗಣಿತದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಭಾಷೆ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

x ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೊತ್ತವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. X. ಈಗ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಒಂದು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಂತರ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇದು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ - ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್.

ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಹೊಸ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಕಾರವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರಚನೆಯ ಮೊದಲು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದ "ಎಲ್ಲಾ" ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಬುರಾಲಿ-ಫೋರ್ಟಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು ಮತ್ತು ಪ್ರಕಟಿಸಿದನು, ನಂತರದ ದೋಷಗಳನ್ನು ರಸ್ಸೆಲ್ ಸರಿಪಡಿಸಿದರು, ನಂತರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಅದರ ಅಂತಿಮ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು.

ಅಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ರಸ್ಸೆಲ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನಕ್ಕೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಅವರು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ತರ್ಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುವ ವಾಕ್ಯಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಿಯಮವು ಈ ರೀತಿ ಇರುತ್ತದೆ: "ಯಾವುದೇ C ಸೆಟ್ C ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ m ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಹಾಗೆಯೇ n ಅಂಶಗಳು ತಮ್ಮ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ." ಸೆಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೇಲಿನ ಅಂತಹ ನಿರ್ಬಂಧವು ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅನ್ವಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಚಿಂತನೆ ಮತ್ತು ಭಾಷೆಯ ದ್ವಂದ್ವದಲ್ಲಿ, ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬೇರೂರಿರುವ ಅವರ ಸ್ವಭಾವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ, ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಂತರದ ಅರಿವಿನ ಮನಶ್ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಭಾಷಾಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು "ಮೂಲ ಮಟ್ಟದ ವರ್ಗೀಕರಣ" ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಸಾದೃಶ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, , ನಿಜ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ t V ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಗಣದ ಶಕ್ತಿಯು V ಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲತತ್ವದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು, V ಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ , ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, V ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ಯಾವುದೇ ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ಸರಿಯಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯು ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ "ನಿಷ್ಕಪಟ" ಊಹೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರ A ಗಾಗಿ ಉಚಿತವಾಗಿದೆ. ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟೈಸ್ಡ್ ಝೆರ್ಮೆಲೊ-ಫ್ರೇಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಾಟರ್ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

ಮೇಲಿನ ಎರಡೂ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ತಾರ್ಕಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, "ಸುಳ್ಳುಗಾರ" ಅಥವಾ "ಕ್ಷೌರಿಕ" ಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ: ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ತೀರ್ಪು ಅವನಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಾದ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ವತಃ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ತಾರ್ಕಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಹ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು. ಸಾಹಿತ್ಯವು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ: "ವಾಸ್ತವವಾದ ಅನಂತತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ನಂಬಿಕೆ ... ಈ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯಿಲ್ಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಅಗತ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ."
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು:

• ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಮತ್ತು ವಿಷಯದ "ಗೋಳಗಳನ್ನು" ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ; ಗೊಂದಲದ ಮಟ್ಟವು ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ;
• ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆಯು ಅವುಗಳ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ವಿಷಯವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.
  ಒಂದು ವರ್ಗದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ, ಅಸಂಗತತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ;
• "ಎಲ್ಲಾ" ಎಂಬ ಪದದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ
  ತನ್ನನ್ನು ತಾನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ;
• ಮೂಲಭೂತ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ:
  • ವಿಷಯದ ಗುರುತು ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದಾಗ ಗುರುತಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ;
  • ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಕಾನೂನು - ಎರಡು ವಿರೋಧಾತ್ಮಕ ತೀರ್ಪುಗಳು ಒಂದೇ ಹಕ್ಕನ್ನು ಪಡೆದಾಗ;
  • ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮೂರನೆಯ ಕಾನೂನು - ಈ ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಗುರುತಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಮತ್ತು ಹೊರಗಿಡದಿದ್ದಾಗ, ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಿಲ್ಲದೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಸಮಾನವಾಗಿ ನ್ಯಾಯಸಮ್ಮತವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತಾರೆ.

ಮೂರನೇ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ರಸ್ಸೆಲ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
K ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, K ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅದು K ಯ ಅಂಶವಾಗಿರಬಾರದು - ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, K ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಅದು K ಯ ಅಂಶವಾಗಿರಬೇಕು - ಮತ್ತೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಅವರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತಾತ್ವಿಕ ಸಾರವು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ "ಸ್ವಯಂ-ಚಲನೆ" "ನಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ" ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಟ್ರಿಸ್ಟ್ರಾಮ್ ಶಾಂಡಿಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸ:
ಸ್ಟರ್ನ್‌ನ ದಿ ಲೈಫ್ ಅಂಡ್ ಒಪಿನಿಯನ್ಸ್ ಆಫ್ ಟ್ರಿಸ್ಟ್ರಾಮ್ ಶಾಂಡಿ, ಜಂಟಲ್‌ಮ್ಯಾನ್‌ನಲ್ಲಿ, ನಾಯಕನು ತನ್ನ ಜೀವನದ ಮೊದಲ ದಿನದ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇಡೀ ವರ್ಷ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ದಿನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಇನ್ನೊಂದು ವರ್ಷ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾಯಕನು ತನ್ನ ಜೀವನಚರಿತ್ರೆಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ದೂರುತ್ತಾನೆ. "ಈಗ ನಾನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತೇನೆ," ರಸ್ಸೆಲ್ ಆಕ್ಷೇಪಿಸುತ್ತಾನೆ, "ಅವನು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಬದುಕಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವನ ಕೆಲಸವು ಅವನಿಗೆ ಹೊರೆಯಾಗುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ, ಅವನ ಜೀವನವು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಘಟನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಗಳಿಲ್ಲ ಅವರ ಜೀವನಚರಿತ್ರೆ ಬರೆಯದೆ ಉಳಿಯುತ್ತಿರಲಿಲ್ಲ.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಶಾಂಡಿ n ನೇ ದಿನದ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು n ನೇ ವರ್ಷಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿದಿನವೂ ಅವರ ಆತ್ಮಚರಿತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದು.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜೀವನವು ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದು ದಿನಗಳಷ್ಟು ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ರಸ್ಸೆಲ್ ಈ ಕಾದಂಬರಿ ಮತ್ತು ಝೆನೋ ಮತ್ತು ಅವನ ಆಮೆಯ ನಡುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತಾನೆ. ಅವರ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಆ. "ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಞಾನದ ಮೂಲತತ್ವ" ಮಾತ್ರ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ - ವರ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ದಿನಗಳು, ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ - ಒಂದು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್. ನಂತರ, ಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರದ ಅನಂತ ಜೀವನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಮಾನ ಶಕ್ತಿಯ ಎರಡು ಅನಂತ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ, ಇದು ನಾವು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ.

ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸ (ಪ್ರಮೇಯ) ಅಥವಾ ಚೆಂಡು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸಮೂರು ಆಯಾಮದ ಚೆಂಡು ಅದರ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ.
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಎರಡು ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಚಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಅವುಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.
ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ i ಉಪವಿಭಾಗವು ಸರ್ವಸಮಾನವಾಗಿರುವಂತಹ ಅಸಂಘಟಿತ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳು A ಮತ್ತು B ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ:
ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವವು ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಘಟಕಗಳ ಆಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಎರಡು ಗೋಳಗಳಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಘಟಕ ತ್ರಿಜ್ಯದ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಭಾಗಗಳು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ. ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ರಿಚರ್ಡ್ ಫೇನ್‌ಮನ್ ತನ್ನ ಜೀವನಚರಿತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಿತ್ತಳೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಒಡೆಯುವ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮರುಜೋಡಿಸುವ ವಿವಾದವನ್ನು ಹೇಗೆ ಗೆಲ್ಲುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾದರು ಎಂದು ಹೇಳಿದರು.

ಕೆಲವು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ನಾವು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕು.

ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವವರ ವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಲು, ಮಜುರ್ಕಿವಿಕ್ಜ್ ಮತ್ತು ಸಿಯರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗ E ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಎರಡು ಅಸಂಬದ್ಧ ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಮಾಪನಗಳಿಂದ E ಸೆಟ್ನ ಹೊದಿಕೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪುರಾವೆಗೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದ ಬಳಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮೂಲತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

• ರಿಚರ್ಡ್ ಅವರ ವಿರೋಧಾಭಾಸ: ನೀವು "ಈ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಹೆಸರಿಸದ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು" ಹೆಸರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸವೆಂದರೆ ಒಂದು ಕಡೆ, ಈ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಚಿಕ್ಕ ಹೆಸರಿಲ್ಲದ ಹೆಸರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ನೀವು ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸದ ವರ್ಗದಿಂದ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.
• ಗ್ರೆಲಿಂಗ್-ನಿಲ್ಸನ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸ: ಪದಗಳು ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಇಲ್ಲವೇ ಇಲ್ಲ. ಅತ್ಯಂತ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ: "ಹೆಟೆರೊಲಾಜಿಕಲ್" (ಅಂದರೆ "ತನಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ"), ಹೆಟೆರೊಲಾಜಿಕಲ್ ಎಂಬ ಪದವು? ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಅಮೂರ್ತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಪದಗಳು ಭಿನ್ನರೂಪವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ.
• ಸ್ಕೋಲೆಮ್‌ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸ: ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಲೋವೆನ್‌ಹೈಮ್-ಸ್ಕೋಲೆಮ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಗೊಡೆಲ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಭಾವಿಸಿದಾಗಲೂ (ಲಭ್ಯವಿರುವ) ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ
  ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ನಮ್ಮನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದ ಅನಂತ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ.

ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ರಚನೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂರನೇ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು, ಅದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.
ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿತ್ತು. ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಂಬಿದಾಗ ಇದು ನಿಜವಾದ ಅನಂತತೆಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಕಲ್ಪನೆಯು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇತರ, ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಭಾಗಗಳಾಗಿರಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿ ಕ್ರಮಗಳು ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ: ನೀಡಲಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು (ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ) ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಯಶಸ್ಸು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿತ್ತು: ಝೆರ್ಮೆಲೊ-ಫ್ರೇಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಕ್ಷೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ನಿಕೋಲಸ್ ಬೌರ್ಬಾಕಿಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶಾಲೆ, ಇದು ಅರ್ಧ ಶತಮಾನಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಟೀಕೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರವು ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪದಗಳಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪದಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು. ಫ್ರೆಜ್ ಇದನ್ನು ನಿಕಟವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು, ಆದರೆ ಕೆಲಸದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಿದ ನಂತರ, ರಸ್ಸೆಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ ನಂತರ ಅವರು ತಮ್ಮ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಿದರು. ಅದೇ ರಸೆಲ್, ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, "ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವರ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ತತ್ವವು ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದವು ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ನಡುವಿನ ಗುಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ, ಜೊತೆಗೆ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅನಗತ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ.
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನಂತತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಆಡುಭಾಷೆಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಕನಿಷ್ಠ ಪೂರ್ವಸೂಚಕವಲ್ಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುವ ತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು ಮಾತ್ರ ಇದ್ದವು. ಅವನ ಸ್ವಂತ ಆಲೋಚನೆಯಲ್ಲಿ, ರಸ್ಸೆಲ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿಯಾಗಿದ್ದನು

19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ - 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಔಪಚಾರಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಹರಡುವಿಕೆಯು ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಧಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಮತ್ತು D. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮಂಡಿಸಿದ ಗಣಿತವನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅವರು ಗಣಿತ ಸಮುದಾಯಕ್ಕೆ ಒಡ್ಡಿದ ಇಪ್ಪತ್ತಮೂರರ ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆ ಅನಂತತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬುದು ಈ ಸತ್ಯದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಔಪಚಾರಿಕೀಕರಣವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು, "ಅದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮೆಟಾಫಿಸಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ." ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಬಳಸಿದ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅವರ ಗುರಿಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು, ಆದರೆ ಅವರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮೇಲೆ ಭಾರಿ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿತು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯದವರೆಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಕಷ್ಟು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದ್ದರಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅಕ್ಷೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅವರು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅವರು ಬರೆದದ್ದು ಇಲ್ಲಿದೆ: "ನಾನು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಗುರಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ: ಗಣಿತದ ಸಮರ್ಥನೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಪ್ರತಿ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ." ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನಂತವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅನಂತ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅಸಮಂಜಸತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಅವರು ಅದರ ಪರಮಾಣುಗಳೊಂದಿಗೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿದರು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ವಾಸ್ತವತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಎತ್ತಿದರು.

ಸೀಮಿತ ವಿಧಾನಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್‌ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ J. ಹರ್ಬ್ರಾನ್ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಸೀಮಿತ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಮೂಲಕ ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ: ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು - ಕೇವಲ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;

ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ;

ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕು ಎಂದು ತಿಳಿದಿರದ ಹೊರತು, "ಈ ವಸ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ" ಎಂದು ಯಾರೂ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವುದಿಲ್ಲ;

ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಸಂಗ್ರಹದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳ X ಅನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ;

ಈ ಎಲ್ಲಾ X ಗೆ ಕೆಲವು ತಾರ್ಕಿಕತೆ ಅಥವಾ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವೆಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ X ಗಾಗಿ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. "

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅವರ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಗೊಡೆಲ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದರು, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಅವರು ಮತ್ತೆ ಅರಿವಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆಡುಭಾಷೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ದೃಢಪಡಿಸಿದರು. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮುಂದಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿತು.

ಗೊಡೆಲ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಏನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು? ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು:

1. ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಸೇರಿಸುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೊಡೆಲ್ ತೋರಿಸಿದರು, ಇದು ನೀಡಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಿಂತ ಯಾವುದೇ ಇತರ ತೀರ್ಮಾನದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಪುರಾವೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಯುತವಾದ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ನಿರ್ಣಯದ ನಿಯಮಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಊಹೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ವಿಶ್ವಾಸವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಳಸಿದ ವಿಧಾನಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಫಿನಿಟಿಸ್ಟ್ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗೊಡೆಲ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಸಂಗತತೆಯನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
2. ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಗೊಡೆಲ್ ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ: ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಇತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಂತೆ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಿಜವಾದ ಅಂಕಗಣಿತವಿದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಪಡೆಯದ ವಾಕ್ಯಗಳು.
3. ಗೊಡೆಲ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂಕಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳೊಂದಿಗೆ ತುಂಬಿದ್ದರೂ ಸಹ ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಕ ಸತ್ಯವಾದ ಆದರೆ ಕಳೆಯಲಾಗದ ಸ್ಥಾನಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನವು ನಿಜವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ತೀರ್ಪುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವದನ್ನು ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗೊಡೆಲ್ ಪ್ರಮೇಯದ ನಂತರ, ಮನವೊಪ್ಪಿಸುವ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೂಪಗಳಿಗೆ ನೀಡಬಹುದೆಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಅರ್ಥಹೀನವಾಯಿತು.

ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಈ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಇತ್ತೀಚಿನದು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯಾಗಿದೆ.

ಇದು ಅದರ ವಿಕಸನದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳ ಮೂಲಕ ಸಾಗಿತು - ಅರೆ-ಅಂತರ್ಯವಾದ, ನಿಜವಾದ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ, ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಇಂಟ್ಯೂಷನಿಸಂ. ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಾಳಜಿ ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅನಂತತೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ವಿಷಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದವು ತಾತ್ವಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಅವರ ಗೋಚರಿಸುವಿಕೆಯ ಕ್ಷಣದಿಂದ (ಪರಮಾಣುಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಎಲೆಯಾದ ಝೆನೋದ ಅಪೋರಿಯಾ, ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾದ ವಿಧಾನಗಳು, ಆಧುನಿಕ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ಇತ್ಯಾದಿ). ಬಳಕೆಯಿಂದ ದೊಡ್ಡ ವಿವಾದ ಉಂಟಾಗಿದೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಅನಂತ (ಸಂಭಾವ್ಯ, ವಾಸ್ತವ) ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ನಮ್ಮ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಆಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿವೆ - ವಿಷಯದ ಪಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಜ್ಞಾನ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟಿನ ಸ್ಥಿತಿಯು ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಪಂಚ (ಅನಂತ) ಮತ್ತು ವಿಷಯದ ಪ್ರಪಂಚದ ನಡುವಿನ ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಷಯವಾಗಿ ಗಣಿತಜ್ಞನಿಗೆ ಅರಿವಿನ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶವಿದೆ - ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಥವಾ ನಿಜವಾದ ಅನಂತ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಆಗುತ್ತಿರುವಂತೆ ಬಳಸುವುದು ಅವನಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಸೀಮಿತವಾದವುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಅಂತಿಮ ಹಂತವಿಲ್ಲದೆ, ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸದೆ, ಅದು ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ನಿಜವಾದ ಅನಂತತೆಯ ಬಳಕೆಯು ಅವನಿಗೆ ಅನಂತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಈಗಾಗಲೇ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಅರೆ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅನಂತತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಇನ್ನೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಸಮರ್ಥನೆಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಣೆದುಕೊಂಡಿದೆ. A. Poincaré ರ ಅರೆ-ಅಂತರ್ಬೋಧನೆ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಿಸ್ ಶಾಲೆಯ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಬೇರ್, ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಮತ್ತು ಬೋರೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮುಕ್ತ ಆಯ್ಕೆಯ ತತ್ವದ ಅಂಗೀಕಾರದ ವಿರುದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ Zermelo ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸದೆಯೇ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಿಲ್ಲ. ಸಂಶೋಧನಾ ವಸ್ತುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಧಾನದ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯು ಈ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುವ ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸುವ ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನಂಬಿದ್ದರು. ರಷ್ಯಾದ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತಾತ್ವಿಕ ತಳಹದಿಯಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ದಕ್ಷತೆಯಂತಹ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಎನ್.ಎನ್. ಲುಜಿನ್. ದಕ್ಷತೆಯು ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಅನಂತ ಗುಂಪಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ಅಮೂರ್ತತೆಗೆ ವಿರೋಧವಾಗಿದೆ - ವಾಸ್ತವತೆ, ಆಯ್ಕೆ, ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಿನೈಟ್ ಇಂಡಕ್ಷನ್, ಇತ್ಯಾದಿ.

ದಕ್ಷತೆಗಾಗಿ, ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಅಮೂರ್ತತೆಗಳು ನಿಜವಾದ ಅನಂತತೆಯ ಅಮೂರ್ತತೆಗಿಂತ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯತೆಯ ಅಮೂರ್ತತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಕಾರ್ಯಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳ (ಅನಂತ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ (ಕಂಟಿನಮ್) ಅನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ದಕ್ಷತೆಯ ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ಥಾಪನೆಯು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮೀನ್ಸ್ (ಅಂಕಗಣಿತ) ಮತ್ತು ಎನ್.ಎನ್ ರಚಿಸಿದ ಸೆಟ್‌ಗಳ (ಕಾರ್ಯಗಳು) ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಡಚ್‌ಮನ್ L.E.Ya, G. ವೇಲ್, A. Heyting ರ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತುವಾಗಿ ನೋಡುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಹೊಸ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ಪುನರ್ರಚನೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಗಣಿತಜ್ಞನ ಪಾತ್ರದ ತಾತ್ವಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಅರಿವಿನ ವಿಷಯವಾಗಿ ಎತ್ತಿದರು. ಜ್ಞಾನದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಅವನು ಹೆಚ್ಚು ಮುಕ್ತನಾಗಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾಶೀಲನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ ಅಲ್ಲಿ ಅವನ ಸ್ಥಾನವೇನು? ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಹುಡುಕಾಟದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುವ ವಿಷಯದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಉಲ್ಲಂಘನೆಯನ್ನು ನೋಡಿದ, ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಿಜವಾದ ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಟೀಕಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗರು (ಮತ್ತು ಅರೆ-ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ). . ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಷಯವು ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ಮೋಸಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವನಿಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನಂತತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ನಿಜವಾದ ಅನಂತತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗಿಂತ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಒಬ್ಬ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಗೆ, ವಸ್ತುವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ನೀಡಿದರೆ ಅಥವಾ ಅದರ ನಿರ್ಮಾಣ ಅಥವಾ ನಿರ್ಮಾಣದ ವಿಧಾನ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಷಯವು ತನ್ನ ಗುಂಪಿನ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಅಂತರ್ಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸದ ವಸ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಿಜವಾದ ಅನಂತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ವಿಷಯವು ಈ ಅವಕಾಶದಿಂದ ವಂಚಿತವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಸ್ಥಾನದ ಎರಡು ದುರ್ಬಲತೆಯನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ:

1) ಈ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ;
2) ಅವರು ನಿಜವಾದ ಅನಂತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆದರೂ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ, ಮನವೊಪ್ಪಿಸುವ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ರಚನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ರಚನೆಗಳಂತೆ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುವ ವಿಧಾನಗಳ ಮೂಲಕ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. , ನಿರ್ಮಾಣಗಳು, ಅದರ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ. ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು, ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನಂತತೆ ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಧಾನಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಆಗುವ ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಗಣಿತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಬ್ರೌವರ್‌ಗೆ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕತೆಯ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿ, ತರ್ಕವು ದ್ವಿತೀಯಕವಾಗಿದೆ, ಅವನು ಅದನ್ನು ಮತ್ತು ಹೊರಗಿಡಲ್ಪಟ್ಟ ಮಧ್ಯದ ಕಾನೂನನ್ನು ಟೀಕಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಅವರ ಸ್ವಲ್ಪ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅವರು ಅನಂತತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ವಾಸ್ತವೀಕರಣವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಕೇವಲ ಸಂಭಾವ್ಯೀಕರಣ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬಳಸಿದ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥನೆ ಅವರಿಗೆ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡ ಮಿತಿಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯದಲ್ಲಿನ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟನ್ನು ನಿವಾರಿಸುವ ಬಯಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಲ್ಟ್ರಾಇನ್ಟ್ಯೂಷನಿಸಂ (A.N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್, A.A. ಮಾರ್ಕೊವ್, ಇತ್ಯಾದಿ) ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಕೊನೆಯ ಹಂತವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಆಧುನೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಸಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ, ಆದರೆ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾನದಂಡಗಳು ಗಣಿತದ ಕಠಿಣತೆ. ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ವಿಧಾನದ ದೌರ್ಬಲ್ಯವು ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳ ಸರಿಯಾದತೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವದ ಸಮರ್ಥನೆಯ ಏಕೈಕ ಮೂಲವಾಗಿ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಪಾತ್ರದ ಅವರ ಕಿರಿದಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸತ್ಯದ ಮಾನದಂಡವಾಗಿ "ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ಸ್ಪಷ್ಟತೆ" ಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಗಣಿತಜ್ಞನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಅರಿವಿನ ವಿಷಯವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಬಡತನಗೊಳಿಸಿತು, ಅವನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾನಸಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿತು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅರಿವಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕಾಗಿ ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಇಂಟ್ಯೂಷನಿಸ್ಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ರಷ್ಯಾದ ಆದ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದೇಶೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು, ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ, ಭೌತವಾದಿ ಆಡುಭಾಷೆಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರು, ಇದು ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳ (ಊಹೆಗಳು, ನಿರ್ಮಾಣಗಳು) ರಚನೆಯ ಮೂಲವಾಗಿ ಮಾನವ ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಇನ್ಟ್ಯೂಷನಿಸ್ಟ್‌ಗಳು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು, ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಗಣಿತದ ಅಭ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದಾರೆ - ಕಂಪ್ಯೂಟಬಲ್, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬಳಸುವ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಅನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಅಲ್ಟ್ರಾಇನ್ಟ್ಯೂಷನಿಸಂ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಹಂತದ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು (ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಇಂಟ್ಯೂಷನಿಸಂ) ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ರಚನಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಇಂಟ್ಯೂಷನಿಸಂನ ಮುಖ್ಯ ವಿಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ತತ್ವಗಳು ಕೆಳಕಂಡಂತಿವೆ: ತರ್ಕದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನ ಟೀಕೆ; ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮತ್ತು ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಗುರುತಿನ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಪಾತ್ರದ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ಗಮನಾರ್ಹ ಬಲಪಡಿಸುವಿಕೆ (ವಸ್ತುಗಳ ಅಸಮಾನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಮಾನಸಿಕ ಅಮೂರ್ತತೆ ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆ) ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತೀರ್ಪುಗಳು; ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪುರಾವೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಗುರುತಿನ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಬಳಕೆಯು ಅದರ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ (ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್) ಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ ಸಮರ್ಥಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ - ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆ, ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿ.

ಅನಂತತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಮುಖ್ಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅದರ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟಿಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, A.N ನ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಟ್ರಾ-ಇಂಟ್ಯೂಷಿಯನಿಸಂನ ಹಂತದಲ್ಲಿ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ತರ್ಕ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಬ್ರೌವರ್‌ನ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಿತು, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಗಣಿತಜ್ಞನು ತರ್ಕವಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ತಾರ್ಕಿಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಅಭ್ಯಾಸವು ಇನ್ನೂ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಆಧಾರವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಎಸ್.ಕೆ. ಕ್ಲೀನ್ ಮತ್ತು R. ವೆಸ್ಲಿ ಅವರು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಗಣಿತವನ್ನು ಕೆಲವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ತರ್ಕ, ಔಪಚಾರಿಕತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ರೂಪ - ಅಲ್ಗಾರಿದಮೈಸೇಶನ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸಂಘಟಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ತೀರ್ಪುಗಳ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಅಗತ್ಯತೆಗಳ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಹೊಸ ಆವೃತ್ತಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ A.N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು: ಅವರು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಮಂಡಿಸಿದರು, ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳು ಮತ್ತು ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳ ಅಕ್ಷೀಯ ಸೂಚ್ಯವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಹೊಸ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು, ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಜ್ಞಾನದ ಸಾಧನವಾಗಿ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗುರುತಿಸುವಲ್ಲಿ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿಸಿದರು, ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತರ್ಕದ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ರಚನಾತ್ಮಕ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವದ ಆಧಾರವಾಗಿ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಸಂಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಈ ಸ್ಥಾನವು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು.

ತೀರ್ಮಾನಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದ ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಂಶವು 19 ರಿಂದ 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ತಿರುವಿನಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅರಿವಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಸ್ಥಾನಗಳಿಂದ, ಅದರಲ್ಲಿ ವಿಷಯದ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಪಾತ್ರ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಅವಧಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಜ್ಞಾನದ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಷಯವು ಅಮೂರ್ತ, ಅಪೂರ್ಣ, "ಭಾಗಶಃ" ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ವಸ್ತು-ವಸ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಮೂರ್ತತೆಗಳು, ತರ್ಕದಿಂದ ವಾಸ್ತವದಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟಿದೆ. , ಔಪಚಾರಿಕತೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಅದರ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅರಿಯುವುದು ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಮತ್ತು ನಕಲಿಸುವ ಕನ್ನಡಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ವಸ್ತುವಿನೊಂದಿಗಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಜವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅರಿವಿನಿಂದ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ತಾತ್ವಿಕ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋರಾಟದ ರಂಗಕ್ಕೆ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಪ್ರವೇಶವು ಗಣಿತಜ್ಞನನ್ನು ಜ್ಞಾನದ ವಿಷಯವಾಗಿ ಹೊಸ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು - ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿ, ಅವರ ತಾತ್ವಿಕ ಅಮೂರ್ತತೆಯನ್ನು ಹೊಸದಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕು. ಗಣಿತಜ್ಞನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಷಯವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡನು, ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನೈಜ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ - ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಐತಿಹಾಸಿಕತೆ; ಇದು ನೈಜ ಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯ ಮತ್ತು ಅರಿವಿನ, ಸೃಜನಶೀಲ, ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ, ಸೃಜನಶೀಲ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರವು ಆಧುನಿಕ ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾದರಿಯ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅರಿವಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ) ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಹೊಸ ಅರಿವಿನ ಗುಣಗಳು, ವಿಧಾನಗಳು, ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಇದು ಅದರ ಅಮೂರ್ತ-ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ-ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ವರೂಪ ಮತ್ತು ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸಂಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದ-ಮಾನವಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು "ಐತಿಹಾಸಿಕ-ಆಧಿಭೌತಿಕ" ಗ್ರಹಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಅರಿವಿನ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೋರಾಟವಿದೆ, ಹೊರಗಿಡಲಾದ ಮಧ್ಯಮ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಅದರೊಳಗೆ ಬರುತ್ತಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಒತ್ತು ನೀಡುವ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಗಣಿತದ ಸಮರ್ಥನೆಗಳ ಕೊರತೆಯು ಗಣಿತವನ್ನು ಘನ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಲಿಲ್ಲ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, 1930 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಯ ನಂತರ, ಗಣಿತದ ರಚನಾತ್ಮಕತೆಯು ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯಿಂದ ಬ್ಯಾಟನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು, ಅದರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಗಮನಾರ್ಹ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದರು. ಆಧುನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಕಂಪ್ಯೂಟಬಿಲಿಟಿ. ಇದರ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ, 1970 ಮತ್ತು 1980 ರ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಕೆಲವು ವಿಚಾರಗಳು (ಹಿಂದೆ ಅಸಂಬದ್ಧವೆಂದು ತೋರುತ್ತಿದ್ದವು) ಮತ್ತು ಟೊಪೊಯ್ನ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಡುವೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಕೆಲವು ಟೊಪೊಯಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಗಣಿತವು ಅಂತರ್ಬೋಧಕರು ರಚಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು: ಮೇಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಸ್ವಯಂ-ಮಾಲೀಕತ್ವದೊಂದಿಗೆ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ವಿಧಾನವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಭಾಷೆ ಮತ್ತು ಚಿಂತನೆಯ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಡಯಲೆಕ್ಟಿಕಲ್-ಮೆಟಿರಿಯಲಿಸ್ಟಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆಳವಾದ ಆಡುಭಾಷೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (ಗೊಡೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅರಿವಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆಡುಭಾಷೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು) ಮತ್ತು ವಿಷಯ ಮತ್ತು ವಿಷಯದ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ತೊಂದರೆಗಳು. ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ, ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ (ವರ್ಗ), ಅಮೂರ್ತತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದು ನಮಗೆ ಹೊಸ (ಅಮೂರ್ತ) ವಸ್ತುಗಳನ್ನು (ಅನಂತ) ಪರಿಚಯಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮಾರ್ಗ ಎಲ್ಲಾ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂರನೇ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟು ಮುಗಿದಿದೆಯೇ (ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರಣ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮದ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿದೆ; ಈಗ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಗವಾಗಿದೆ) - ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು 1907 ರ ವೇಳೆಗೆ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದ್ದರೂ ಇಲ್ಲಿ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟನ್ನು ಮುನ್ಸೂಚಿಸುವ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾರ್ಗದ ಸಮಗ್ರತೆಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸಮರ್ಥನೆಯ ಕೊರತೆ).

ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸುಳ್ಳುಗಾರ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ನಿಷ್ಕಪಟ (ಹಿಂದಿನ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್) ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯು ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿತು (ಒಂದು ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು G. ಫ್ರೆಜ್ ಅವರ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಮಾರಣಾಂತಿಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಿವೆ) . ಆದರೆ ಬಹುಶಃ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಮತ್ತು ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು, 1963 ರಲ್ಲಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪಾಲ್ ಕೋಹೆನ್ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ನಿರ್ಧಾರದ ಸತ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ನಿರ್ಧಾರದ ಸ್ವರೂಪ.

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಅನ್ನಾಲೆನ್, 46:481--512, 1895.
2. ಐ.ಎನ್. ಬುರೋವಾ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಆಡುಭಾಷೆಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು. ವಿಜ್ಞಾನ, 1976.
3. ಎಂ.ಡಿ. ಪಾಟರ್. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅದರ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ: ಒಂದು ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಪರಿಚಯ. ಆಕ್ಸ್‌ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಇನ್ಕಾರ್ಪೊರೇಟೆಡ್, 2004.
4. ಝುಕೋವ್ ಎನ್.ಐ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತಾತ್ವಿಕ ಅಡಿಪಾಯ. Mn.: Universitetskoe, 1990.
5. ಫೆನ್ಮನ್ R.F., S. ಇಲಿನ್. ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ತಮಾಷೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೀರಿ, ಮಿಸ್ಟರ್ ಫೆನ್‌ಮನ್!: ಅದ್ಭುತ ಮನುಷ್ಯನ ಸಾಹಸಗಳು, ಅವರು ಆರ್. ಲೇಟನ್‌ಗೆ ಹೇಳಿದರು. ಕೊಲಿಬ್ರಿ, 2008.
6. O. M. ಮಿಝೆವಿಚ್. G. ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳು. ಲಾಜಿಕಲ್ ಮತ್ತು ಫಿಲಾಸಫಿಕಲ್ ಸ್ಟಡೀಸ್, (3):279--299, 2005.
7. S. I. ಮಸಲೋವಾ. ಇಂಟ್ಯೂಷನಿಸ್ಟ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ. DSTU ನ ಬುಲೆಟಿನ್, (4), 2006.
8. ಚೆಚುಲಿನ್ ವಿ.ಎಲ್. ಸ್ವಯಂ-ಸಂಬಂಧಿತ (ಅಡಿಪಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳು) ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಪೆರ್ಮ್ ರಾಜ್ಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ - ಪೆರ್ಮ್, 2012.
9. S. N. ಟ್ರೋನಿನ್. "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ" ಎಂಬ ಶಿಸ್ತಿನ ಕುರಿತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. ಕಜನ್, 2012.
10. ಗ್ರಿಶಿನ್ ವಿ.ಎನ್., ಬೋಚ್ವರ್ ಡಿ.ಎ. ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ ಮತ್ತು ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಅಲ್ಲದ ತರ್ಕಗಳ ಸಂಶೋಧನೆ. ವಿಜ್ಞಾನ, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: ಈ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಹಾರ. ಬಖ್ರಖ್-ಎಂ, 2001.
12. ಕಬಕೋವ್ ಎಫ್.ಎ., ಮೆಂಡೆಲ್ಸನ್ ಇ. ಇಂಟ್ರಡಕ್ಷನ್ ಟು ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲಾಜಿಕ್. ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್ "ಸೈನ್ಸ್", 1976.
13. ಹೌದು. ಬೋಚ್ವರ್. ಗಣಿತದ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ. ಗಣಿತದ ಸಂಗ್ರಹ, 57(3):369--384, 1944.

ನಾನು ಮೊದಲು ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಕಲಿತಾಗ ನನಗೆ ನೆನಪಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ವಿಜ್ಞಾನವು ತಕ್ಷಣವೇ ನನಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿತು. ಟೀಪಾಟ್ ಡೋನಟ್ ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಗೋಳವು ಒಳಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವರು ಕೇಳಿದ್ದಾರೆ. ಆದರೆ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಗಂಭೀರ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಬಯಸುವವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಬಹಳ ಅಮೂರ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅನೇಕ ಮೂಲಗಳು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಓದುಗರನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿವೆ. ರಷ್ಯಾದ ವಿಕಿಯು ಟೋಪೋಲಜಿ ಏನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಇದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಜ್ಞಾನ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ಥಳಗಳು. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳ ಕುರಿತಾದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳು ಸುಸಜ್ಜಿತ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಓದುಗರು ಕಲಿಯಬಹುದು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರ. ಲೆಮೊವ್ ಅವರ ಸೆಪ್ಯುಲೆಕ್ಸ್ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ವಿವರಣೆಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ವಿಷಯದ ಸಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮುಖ್ಯ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ. ನನ್ನ ಟಿಪ್ಪಣಿಯಲ್ಲಿ ಟೀಪಾಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಗಲ್‌ಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಕಲಿಯಲು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೊದಲ ಹಂತಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನಲ್ಲ, ಆದರೆ 100% ಮಾನವತಾವಾದಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೆಳಗೆ ಬರೆದಿರುವುದು ಸುಳ್ಳಾಗಿರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ! ಸರಿ, ಅಥವಾ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಭಾಗ.

ನಾನು ಮೊದಲು ಈ ಟಿಪ್ಪಣಿಯನ್ನು ಮಾನವಿಕ ಶಾಸ್ತ್ರದ ನನ್ನ ಸ್ನೇಹಿತರಿಗಾಗಿ ಟೋಪೋಲಜಿ ಲೇಖನಗಳ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಬರೆದಿದ್ದೇನೆ, ಆದರೆ ಅವರ್ಯಾರೂ ಅದನ್ನು ಓದಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಿಲ್ಲ. ನಾನು ಸರಿಪಡಿಸಿದ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು Habr ನಲ್ಲಿ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿ ಇದೆ ಎಂದು ನನಗೆ ತೋರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿಯ ಲೇಖನಗಳು ಹಿಂದೆಂದೂ ಇರಲಿಲ್ಲ. ದೋಷಗಳು ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ನಾನು ಬಹಳಷ್ಟು ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ.

ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿಮರ್ಶೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುಗರು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ ನಾನು ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೆಟ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದು ಏನೆಂದು ನಾವು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಹೀಗೆ ಹೇಳಿದರು: "ಸೆಟ್" ಎಂದರೆ ನಮ್ಮ ಆಲೋಚನೆ ಅಥವಾ ನಮ್ಮ ಆಲೋಚನೆಯ (ಇದನ್ನು M ಸೆಟ್‌ನ "ಅಂಶಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳ M ಆಗಿ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ." ಸಹಜವಾಗಿ, ಇದು ಕೇವಲ ಸಾಂಕೇತಿಕ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಲ್ಲ.
ಅನೇಕ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು (ಕ್ಷಮಿಸಿ) ತಿಳಿದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ . ಇದು 20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಬಿಕ್ಕಟ್ಟಿನೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ZFC ಅಥವಾ NBG ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳಂತಹ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವು ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್ಗಳಿಗೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಹ್ಯಾಬ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಬದಲಿಗೆ ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು "ಒಳಗಿನಿಂದ" ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಆಂತರಿಕ ರಚನೆ, ಆದರೆ ಅವರು ಹೇಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ. ಅವರ "ಬಾಹ್ಯ" ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
ನಮಗೆ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಡಿಪಾಯಗಳು ಮಾತ್ರ ಮುಖ್ಯ.

ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು.

ಅವು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದವು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್, ಇದನ್ನು ℤ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಕೀಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ Z ಮಾತ್ರ).

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಇದೆ. ಇದು ಇಡೀ ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆ ಇದೆ, ಆದರೆ ನಾನು ಅದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಣಿಸಬಹುದು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್, ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ, ಸಹ ಎಣಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿದೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕರ್ಣೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತೇವೆ, 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಾವು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಬೆಸವಾಗಿದ್ದು, 3 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಸೊನ್ನೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. 4.87592692976340586068 ಅಥವಾ 1.00000000000001, ಅಥವಾ -9092, ಅಥವಾ 42 ನಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಬರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, √2 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಒಮ್ಮೆ ಗ್ರೀಕರನ್ನು ತುಂಬಾ ಅಸಮಾಧಾನಗೊಳಿಸಿತು. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ವ್ಯಕ್ತಿ ಮುಳುಗಿದನು ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಗಾತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಶಕ್ತಿ. ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೀಬ್ರೂ ಅಕ್ಷರ ಅಲೆಫ್‌ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿಕ್ಕ ಅನಂತ ಶಕ್ತಿ ಎಂದರೆ ಶಕ್ತಿ ℵ 0 ಇದು ಲೆಕ್ಕಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಅನೇಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ವಿಚಿತ್ರವಾದರೂ ಸತ್ಯ. ಮುಂದಿನದು ಶಕ್ತಿ ನಿರಂತರ. ಇದನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ℵ 1 . ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ℝ ಗುಂಪಿನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ನಿರಂತರತೆಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಅಲೆಫ್-ಒನ್ನ ಶಕ್ತಿ ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಎಂದು ಒಂದು ಊಹೆ ಇದೆ. ಆ. ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರ ಶಕ್ತಿ ಇಲ್ಲ.

ನೀವು ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೊಸ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

1. ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು.

3. ನೀವು ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದಕವನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಟಿಪ್ಪಣಿಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದದ್ದು ಅಷ್ಟೆ. ಈಗ ನಾವು ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.
ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.
ನಾವು ಕೆಲವು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದೋಣ.
ಈ ಸೆಟ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ಇದನ್ನು ನಾವು T. T ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು S ಸೆಟ್‌ನ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ:

1. S ಸ್ವತಃ ಮತ್ತು ∅ T ಗೆ ಸೇರಿದೆ.
2. ಅಂಶಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕುಟುಂಬಗಳ ಯಾವುದೇ ಒಕ್ಕೂಟವು T ಗೆ ಸೇರಿದೆ.
3. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಛೇದಕ ಅಂತಿಮಟಿ ಅಂಶಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಟಿಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಈ ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ನಮ್ಮ ರಚನೆಯು S ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಜಿ T ಆಗಿರುತ್ತದೆ. T ಸೆಟ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತೆರೆದಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ S ಮೇಲೆ ಸೆಟ್‌ಗಳು T. ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆಬಹುಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಒಂದು ಸೆಟ್ ತೆರೆದಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು ಇರಬಹುದು.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಕೊಡೋಣ. ಮೂರು ಬಣ್ಣದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದೋಣ.

ಅದರ ಮೇಲೆ ಸರಳವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿರೋಧಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರ. ಇಲ್ಲಿ ಅವಳು.

ಈ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಕೊಂಡಿರುವ ಚುಕ್ಕೆಗಳು. ಇದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದು ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಟೋಪೋಲಾಜಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಚೀನ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉಪವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಟೋಪೋಲಜಿಯಾಗಿದೆ.

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಟೋಪೋಲಜಿ ಇಲ್ಲಿದೆ. ನಾನು ಅಕ್ಷರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ 7 ಬಹು-ಬಣ್ಣದ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ S ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ನನಗೆ ಖಚಿತವಿಲ್ಲ, ಬಹುಶಃ ನಾನು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಒಕ್ಕೂಟ ಅಥವಾ ಛೇದಕವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿರಬಹುದು. ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ S ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬೇಕು, ಖಾಲಿ ಸೆಟ್, ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಂಶಗಳ ಛೇದಕಗಳು ಮತ್ತು ಒಕ್ಕೂಟಗಳು ಸಹ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರಬೇಕು.

ಜೋಡಿಟೋಪೋಲಜಿಯಿಂದ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ಥಳ.

ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಹಲವು ಅಂಕಗಳಿದ್ದರೆ (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಾರದು), ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವುದು ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗಾಗಿ, ನೀವು 8 ಸೆಟ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು 4-ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಾಗಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಈಗಾಗಲೇ 16 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, 5 - 32 ಕ್ಕೆ, 6 -64 ಕ್ಕೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡದಿರಲು, ಒಂದು ರೀತಿಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಆ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಒಕ್ಕೂಟಗಳು ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬೇಸ್ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಜಾಗದ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗಾಗಿ, ಇವು ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಈ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆಧಾರವು ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಾಂಶಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರಿಬೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಐದು ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಕೇವಲ ಐದು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ 32 ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿವೆ. ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ, ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಒಂದರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ "ಸಾಮೀಪ್ಯ" ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಬಿಂದುಗಳು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದರೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಂಟಿ-ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾಅಂಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ ನೆರೆಹೊರೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ತೆರೆದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೆರೆಹೊರೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ p ನ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ತೆರೆದ ಚೆಂಡನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಬಿಂದುಗಳ ನೆರೆಹೊರೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲದ ನೆರೆಹೊರೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ S 1 ಪಾಯಿಂಟ್ p ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸೆಟ್ S 2 ಅಲ್ಲ.

ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಆಕ್ಟೆಸ್ಟಿಟಿಯ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಅಥವಾ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳ ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು.

ಇವೆಲ್ಲವೂ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಇಲ್ಲಿಂದ ಒಳಗಿನ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ತಿರುಗಿಸುವುದು ಎಂಬುದು ಇನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಬಹುಶಃ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ನಾನು ಈ ರೀತಿಯ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ (ನಾನೇ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದರೆ).

ಹೊಸ ಪುಟ 1

ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಪಾಠ 1. ಸೆಟ್‌ಗಳು.

ಸೆಟ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಒಂದು ಗೊಂಚಲುಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಯಾವ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಇರಬಹುದು? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅವುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಣಿಸಬಹುದು. ಕಡಲತೀರದ ಮರಳಿನ ಧಾನ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ, ಆದರೆ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯ. ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಡಲತೀರದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಮರಳಿನ ಧಾನ್ಯಗಳಿವೆ. ಆದರೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹಾಕಬಹುದು. ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಸಹ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು. ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಮಾಣುವಿನ ಗಾತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಗಾತ್ರವಿಲ್ಲ. ಇದರ ಗಾತ್ರ ಶೂನ್ಯ. ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ, ಅನಂತ. ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅವು ಒಂದೇ ವಿಷಯವಲ್ಲ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತೊಂದು ಸೆಟ್‌ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು "ಎಡ" ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಇವುಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಮಾನ ಸೆಟ್‌ಗಳಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದು ಒಂದು ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಅವರು ಏಕೆ ಸಮಾನರಲ್ಲ? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವಿಭಾಗ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯು ಛೇದಿಸದಿರಬಹುದು. ನಂತರ ಅವರು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅವು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅವು ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಉಳಿದವರೆಲ್ಲರೂ ಅಷ್ಟೇ ಭಿನ್ನರು. ವಿಭಾಗವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಸಹ ರೇಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಅದೇ).

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶವು ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯಮದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳು ಏನಾಗಿರಬಹುದು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಟ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮೂರ್ಖತನದಿಂದ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನೀವು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 ರಿಂದ 10 ರವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಇದು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇದು ಅನಂತ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ - ನಾವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿದರೂ, ಯಾವಾಗಲೂ ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಜೊತೆಗೆ 1 ಇರುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮದಂತೆ, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ A, B, C, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ಅಂಶಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಕಟ್ಟುಪಟ್ಟಿಗಳಲ್ಲಿ ಲಗತ್ತಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ A=(a, b, c, d). a ಸೆಟ್ A ಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎ Î ಎ. a ಸೆಟ್ A ಯ ಒಂದು ಅಂಶವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, a ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ Ï A. ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ N=(1,2,3,...,) ಗಳ ಸೆಟ್ N ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷವಾದ, ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಒಂದು ಅಂಶವೂ ಇದೆ, ಅದು ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ Æ .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 (ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ). ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು B ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ x ಆಗಿದ್ದರೆÎ A x Î B ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, x Î B ನಿಂದ x Î A ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

(A=B) := " X (( X Î ಎ ) Û (X Î ಬಿ )),

ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಿಗೆ x ಸಂಬಂಧಗಳು xÎ ಎ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಒ ಬಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ " - ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ (" X"ಎಲ್ಲರಿಗೂ" ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ X").

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 (ಉಪವಿಭಾಗದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ). ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಎಸೆಟ್‌ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ IN, ಏನಾದರು ಇದ್ದಲ್ಲಿ Xಬಹುಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿದವರು ಎ, ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ IN.ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

(ಎ Ì ಬಿ) := " X((X Î ಎ) Þ (X Î ಬಿ))

ಒಂದು ವೇಳೆ Ì ಬಿ ಆದರೆ ಎ ¹ B, ನಂತರ A ಎಂಬುದು ಸೆಟ್‌ನ ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ IN.ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಮತ್ತೆ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದರ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಈ ಸಾಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಥವಾ, ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. 3 ರಿಂದ ಸಮವಾಗಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್‌ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ

ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

ಒಂದು ಸಂಘ.ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

C=AÈ ಬಿ: = {x:x Î A ಅಥವಾ xÎ ಬಿ}

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ | 2 X+ 3 | > 7.

ಇದು 2x+3 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ 2x+3 >7 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ≥0, ನಂತರ x>2

ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆ 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

ಈ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಮೂಹವು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ (-∞,-5) È (2, ∞).

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ | 2 X+ 3 | ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಮತ್ತು ಸುಳ್ಳು ಹೇಳದೆ ಇರುವ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳಿಗೆ:

X	| 2 X+ 3 |
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಗಡಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗಳನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಛೇದಕ.ಛೇದಕವು ಎರಡರಿಂದ ಹೊಸ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಈ ಎರಡೂ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸೆಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಫಿಗರ್ ಎ ಮತ್ತು ಫಿಗರ್ ಬಿ. ಅವರ ಛೇದಕವು ಫಿಗರ್ ಸಿ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ - ಇದು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ:

ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

C=A ಸಿ ಬಿ:= (x: x Î A ಮತ್ತು x O B)

ಉದಾಹರಣೆ.ನಂತರ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದೋಣ C=A ಸಿ ಬಿ = {5,6,7}

ವ್ಯವಕಲನ.ಸೆಟ್‌ಗಳ ವ್ಯವಕಲನವು ಸಬ್‌ಟ್ರಹೆಂಡ್ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಸಬ್‌ಟ್ರಹೆಂಡ್‌ನಿಂದ ಹೊರಗಿಡುವುದು:

ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

A\B:={x:x Î ಎ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್Ï ಬಿ}

ಉದಾಹರಣೆ.ನಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಿಗಲಿ A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10).ನಂತರ C=A\ ಬಿ = { 1,2,3,4}

ಸೇರ್ಪಡೆ.ಪೂರಕವು ಏಕೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಎರಡರ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ). ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ನೀಡಿದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ (ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೆಟ್) ಕಳೆಯುವುದರ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ.

A : = (x:x Î U ಮತ್ತು x Ï A) = U \ A

ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:

ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಅಥವಾ, ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದನ್ನು ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅದರಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲಾಗಿದೆ:

ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:

ಎಡಿ ಬಿ:= (A\B) È ( ಬಿ\ಎ) = (ಎ È ಬಿ) \ (ಎ Ç ಬಿ)

ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಯೂನಿಯನ್ ಮತ್ತು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಛೇದಕ ಮತ್ತು ಒಕ್ಕೂಟದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

1. ಸಂವಹನಶೀಲತೆ.

ಎ È ಬಿ=ಬಿÈ ಎ
ಎÇ ಬಿ=ಬಿÇ ಎ

1. ಸಹಭಾಗಿತ್ವ.

(ಎ È ಬಿ) È C=AÈ ( ಬಿ È ಸಿ)
(ಎ Ç ಬಿ) Ç C=AÇ ( ಬಿ Ç ಸಿ)

ಮಿಖಾಯಿಲ್ ರಾಸ್ಕಿನ್

ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತವು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅದರ ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ, ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ZFC ಸೂಚಿಸಲಾದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವದೊಂದಿಗೆ Zermelo-Fraenkel ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆಧಾರ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗದ ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿಯು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸದ ಸೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಊಹಿಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಇದು ಏನು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೋರ್ಸ್ ನೋಡುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವು ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಿದೆ. ಕೋರ್ಸ್ ಆರ್.ಎಂ ಅವರ ಲೇಖನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿರ್ಮಾಣದ ಕುರಿತು ಸೊಲೊವಿ.

ಮಿಖಾಯಿಲ್ ರಾಸ್ಕಿನ್

ಕೆಲವು ಮೂಲತತ್ವವು ಮತ್ತೊಂದು ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಯೇ (ಅಥವಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ; ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಹುಪಾಲು ಜನರು ಬಳಸುವ ಒಂದು ಊಹೆಯಾಗಿದೆ) ಎಂಬ ಬಗ್ಗೆ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಊಹೆಗಳು ನಿಜ ಆದರೆ ಊಹೆಯು ನಿಜವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತಾಗದತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ನಡುವೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಶಕ್ತಿ ಇರುವ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿ, ಕೋಹೆನ್ ಒತ್ತಾಯಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು.

ಇವಾನ್ ಯಾಶ್ಚೆಂಕೊ

ಎಲ್ಲಾ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಷೌರಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: "ಕ್ಷೌರಿಕನು ತನ್ನನ್ನು ಕ್ಷೌರ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದವರಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ಷೌರ ಮಾಡಿದರೆ ತಾನೇ ಕ್ಷೌರ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆಯೇ?" ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹೇಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಕಿರುಪುಸ್ತಕವು ಮಾತನಾಡುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಇತರ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದರಿಂದ ಎರಡು ಕಿತ್ತಳೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ತಯಾರಿಸಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಲಿಯುವಿರಿ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರವು ವಿಷಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಓದುಗರಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕರಪತ್ರವು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಓದುಗರಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ: ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಕಿರಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಶಿಕ್ಷಕರು.

ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಭಾಷೆ ಮತ್ತು ಚಿಂತನೆಯ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಆಳವಾದ ಆಡುಭಾಷೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (ಗೊಡೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅರಿವಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಆಡುಭಾಷೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು) ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ವಿಷಯ ಮತ್ತು ವಿಷಯ ಪ್ರದೇಶದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರದ ತೊಂದರೆಗಳು, ಸೆಟ್ ( ವರ್ಗ) ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಮೂರ್ತತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದು ನಮಗೆ ಹೊಸ (ಅಮೂರ್ತ) ವಸ್ತುಗಳನ್ನು (ಅನಂತ) ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ನೀವು ಅನಂತತೆಯ ನಿಖರವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಿರಾ? ವರ್ಚಸ್ವಿ ಗಣಿತಜ್ಞ ಜೇಮ್ಸ್ ಸುಲಭವಾಗಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಿಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಬುಫೆಟೊವ್

ಗೊಡೆಲ್‌ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗದ ಸೂತ್ರ A ಎಂದರೆ "A ಸೂತ್ರದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲ," ಅಂದರೆ, ಇದು S ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ಅಸಂಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, A ಸುಳ್ಳು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗೊಡೆಲ್‌ನ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ರಿಚರ್ಡ್‌ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಶಬ್ದಾರ್ಥದ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಲ್ಲದ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಯೂರಿ ಲೆಬೆಡೆವ್

ನನ್ನ ಕೈಯಲ್ಲಿ ಹಳೆಯ ಕಾರ್ಡ್ಬೋರ್ಡ್ ಫೋಲ್ಡರ್ ಸಿಕ್ಕಿದಾಗ, ಅದು "ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ರಾಣಿ" ಕಾರ್ನ್ ಬಗ್ಗೆ ವೃತ್ತಪತ್ರಿಕೆ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನನಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಖಚಿತವಾಗಿತ್ತು. ಮತ್ತು ನನ್ನ ವಿಶ್ವಾಸವು ಸಮರ್ಥಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ನನಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಫೋಲ್ಡರ್‌ನಲ್ಲಿ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಗಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಎರಡು ಲೇಖನಗಳ ಕರಡುಗಳು - “ಸೆಮಿಯೋಟಿಕ್ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ತತ್ವಗಳು”, “ಎಕ್ಸೆಪ್ಶನ್ ನಿರಾಕರಣೆ” - ಮತ್ತು ಇತರರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಟಾಕ್, ಇದನ್ನು ಓದಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಶ್ರಮ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಗಳಲ್ಲಿ ಲೇಖಕರ ಹೆಸರಾಗಲೀ ಬರೆಯುವ ದಿನಾಂಕವಾಗಲೀ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಕಳೆದ ವರ್ಷಗಳ "ಅನಾಗರಿಕರು" ಒಬ್ಬರು ಫೋಲ್ಡರ್ ಅನ್ನು ಮರೆತಿದ್ದಾರೆ. ಲೇಖಕರೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ, ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕೈಬರಹದಲ್ಲಿ ಈ ಅತ್ಯಂತ ಅಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ ಬರೆದ ಲೇಖನಗಳ ಪ್ರತಿಲೇಖನದ ನನ್ನ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಗಮನಕ್ಕೆ ತರಲು ನಾನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ.

ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಉಸ್ಪೆನ್ಸ್ಕಿ

ವಾಹಕದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಭಾಷೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಾಷೆ ಅಥವಾ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಭಾಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಭಾಷೆಯನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಷೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಷೆಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಾಹಕವು ನಿಖರವಾಗಿ 17 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದರ ಸೀಮಿತತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಮಾತನಾಡುವವರ ಸೀಮಿತತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾದ ದಿಗ್ಭ್ರಮೆಯು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಷೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕಳಪೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಏಕೆ ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮವಲ್ಲವೇ?

ಮಿಖಾಯಿಲ್ ರಾಸ್ಕಿನ್

ಗಣಿತವು ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡಿರುವ ಮೂಲತತ್ವಗಳಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೆಟ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಈ ವಿಧಾನವು ವಿವಾದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಇದರ ನಂತರ, ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಆಗಮಿಸದೆ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದವು. ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವು ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ರಮೇಣ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ZFC ಎಂಬ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಡಿಪಾಯಗಳಾಗಿ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ತುಂಡು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ZFC ಕೇವಲ ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರಗ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಗುಡಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಗಣಿತದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹಾಳುಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಏನು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಗಳು ಎಷ್ಟು ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಥೆಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇಕ್ಷಕರ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; →, ∀, ∨, ∈, ∈, ∪, ... ಎಂಬ ಪದನಾಮಗಳು ಇನ್ನೂ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ತಪ್ಪಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಜೋರ್ಡಾನಾ ಸೆಪೆಲೆವಿಚ್

19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಮತ್ತು 20 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ಒಂದು ಮಹತ್ವಾಕಾಂಕ್ಷೆಯ ಯೋಜನೆಯಾದ ಏಕೀಕೃತ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಭರವಸೆಯು ವಿಫಲವಾಯಿತು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಗೊಡೆಲ್, ತನ್ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎಷ್ಟೇ ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದ್ದರೂ ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗದ ಅಂತರಗಳ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವಿಕೆಗೆ ಗುರಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತವೆ - ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿಯೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ, ಮತ್ತು ಜಾಹೀರಾತು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ವಿಚಿತ್ರವಾದ ಏನೋ ಸಂಭವಿಸಿದೆ: ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನ ಹರಿಸದಿರಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಪೂರ್ಣತೆಯು ತಮ್ಮ ಕೆಲಸದ ಮೇಲೆ ನೇರ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ಅನೇಕಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಒಂದಾದ ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಶಗಳು.

ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎ, ಬಿ, …, X, ವೈ, ..., ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: a, b, …, x, y.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.1.ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಖಾಲಿಮತ್ತು Ø ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ವಿವರಣೆಯಿಂದ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ:; .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.2.ಅನೇಕ ಎ ಉಪವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಿ, ಸೆಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಸೆಟ್ನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಬಿ. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎಬಿ (ಎಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಬಿ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.3.ಎರಡು ಸೆಟ್ ಎಮತ್ತು ಬಿಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಮಾನ, ಅವು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ: ( ಎ =ಬಿ).

ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.4.ಯೂನಿಯನ್ ಅಥವಾ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಮತ್ತು ಬಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಈ ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ.

ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಬಿ(ಅಥವಾ ಎ +ಬಿ) ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಬಿ = .

ಎಬಿ= ಎ +ಬಿ

ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಿ.ಎ., ಅದು ಎ +ಬಿ=ಎ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.5.ಛೇದಕ ಅಥವಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಮತ್ತು ಬಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಮತ್ತು ಅನೇಕ ಬಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ. ಸೆಟ್ಗಳ ಛೇದಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಬಿ(ಅಥವಾ ಎ· ಬಿ) ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

AB = .

ಎಬಿ =ಎ · ಬಿ

ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಿ ಎ, ಅದು ಎ · ಬಿ=ಬಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.6.ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಸೆಟ್ನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಎ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ನ ಅಂಶವಲ್ಲ ಬಿ. ಸೆಟ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎ\ಬಿ. ಎ-ಪ್ರಿಯರಿ ಎ\ಬಿ = .

ಎ\ಬಿ = ಎ–ಬಿ

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಎನ್ =- ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್.

Z= - ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್.

ಪ್ರ=- ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್.

ಆರ್- ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್.

ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಆರ್ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ;... ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, = 1.41421356...; = 3.14159265.... ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಕೆ- ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ರೂಪದ Z=ಎ+ ದ್ವಿ)

ಆರ್ಕೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.7.Ɛ‒ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ X 0 ಅನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ( X 0 – Ɛ; X 0 + Ɛ), ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ X 0 .

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರ ವೇಳೆ ( X 0 –Ɛ; X 0 +Ɛ), ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ X 0 –Ɛ<X<X 0 +Ɛ, ಅಥವಾ, ಅದೇ ಏನು, │ X– X 0 │<Ɛ. ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ಹೊಡೆಯುವುದು XƐ ರಲ್ಲಿ - ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ X 0 .

ಉದಾಹರಣೆ 1:

(2 - 0.1; 2 + 0.1) ಅಥವಾ (1.9; 2.1) - Ɛ– ನೆರೆಹೊರೆ.

│X– 2│< 0,1

–0,1<X – 2<0,1

2 –0,1<X< 2 + 0,1

1,9<X< 2,1

ಉದಾಹರಣೆ 2:

ಎ- ವಿಭಾಜಕಗಳ ಸೆಟ್ 24;

ಬಿ- ವಿಭಾಜಕಗಳ ಸೆಟ್ 18.