Equazioni di conseguenza. Altre trasformazioni che portano al corollario dell'equazione

Classe: 11

Durata: 2 lezioni.

Lo scopo della lezione:

• (per insegnante) formazione negli studenti di una comprensione olistica dei metodi per risolvere equazioni irrazionali.
• (per studenti) Sviluppo della capacità di osservare, confrontare, generalizzare e analizzare situazioni matematiche (diapositiva 2). Preparazione all'Esame di Stato Unificato.

Programma della prima lezione(diapositiva 3)

1. Aggiornamento della conoscenza
2. Analisi della teoria: Elevare un'equazione a una potenza pari
3. Workshop sulla risoluzione delle equazioni

Secondo programma di lezione

1. Lavoro indipendente differenziato in gruppi “Equazioni irrazionali all'esame di stato unificato”
2. Riepilogo delle lezioni
3. Compiti a casa

Avanzamento delle lezioni

I. Aggiornamento della conoscenza

Bersaglio: ripetere i concetti necessari per padroneggiare con successo l'argomento della lezione.

Rilievo frontale.

– Quali due equazioni si dicono equivalenti?

– Quali trasformazioni di un’equazione sono dette equivalenti?

– Sostituisci questa equazione con una equivalente con la spiegazione della trasformazione applicata: (diapositiva 4)

a) x+ 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; d) = -4.

– Quale equazione è chiamata equazione corollaria dell’equazione originale?

– Può un’equazione corollaria avere una radice che non sia la radice dell’equazione originale? Come si chiamano queste radici?

– Quali trasformazioni dell’equazione portano alle equazioni corollari?

– Cos’è la cosiddetta radice quadrata aritmetica?

Oggi ci soffermeremo più in dettaglio sulla trasformazione “Elevare un'equazione a potenza pari”.

II. Analisi della teoria: Elevare un'equazione a una potenza pari

Spiegazione del docente con partecipazione attiva degli studenti:

Lascia 2mmN) è un numero naturale pari fisso. Quindi la conseguenza dell'equazioneF(x) =G(x) è l'equazione (F(x)) = (G(X)).

Molto spesso questa affermazione viene utilizzata per risolvere equazioni irrazionali.

Definizione. Un'equazione che contiene un'incognita sotto il segno della radice si dice irrazionale.

Quando si risolvono equazioni irrazionali, vengono utilizzati i seguenti metodi: (diapositiva 5)

Attenzione! I metodi 2 e 3 richiedono obbligatorio controlli.

L'ODZ non sempre aiuta ad eliminare le radici estranee.

Conclusione: Quando si risolvono equazioni irrazionali, è importante passare attraverso tre fasi: tecnica, analisi della soluzione, verifica (diapositiva 6).

III. Workshop sulla risoluzione delle equazioni

Risolvi l'equazione:

Dopo aver spiegato come risolvere un'equazione elevandola al quadrato, risolvila passando a un sistema equivalente.

Conclusione: Le equazioni più semplici con radici intere possono essere risolte con qualsiasi metodo familiare.

b) = x – 2

Risolvendo elevando entrambi i membri dell'equazione alla stessa potenza, gli studenti ottengono le radici x = 0, x = 3 -, x = 3 +, che sono difficili e richiedono molto tempo da verificare mediante sostituzione. (Diapositiva 7). Transizione ad un sistema equivalente

ti permette di sbarazzarti rapidamente delle radici straniere. La condizione x ≥ 2 è soddisfatta solo da x.

Risposta: 3+

Conclusione: È meglio controllare le radici irrazionali passando a un sistema equivalente.

c) = x – 3

Nel processo di risoluzione di questa equazione, otteniamo due radici: 1 e 4. Entrambe le radici soddisfano il lato sinistro dell'equazione, ma quando x = 1 la definizione di radice quadrata aritmetica viene violata. L'equazione ODZ non aiuta ad eliminare le radici estranee. Il passaggio ad un sistema equivalente dà la risposta corretta.

Conclusione:una buona conoscenza e comprensione di tutte le condizioni per determinare la radice quadrata aritmetica aiuta a passare aeseguendo trasformazioni equivalenti.

Elevando al quadrato entrambi i lati dell'equazione, otteniamo l'equazione

x + 13 - 8 + 16 = 3 + 2x - x, ponendo il radicale a destra, otteniamo

26 – x + x = 8. L'applicazione di ulteriori azioni per elevare al quadrato entrambi i lati dell'equazione porterà ad un'equazione di 4° grado. Il passaggio all'equazione ODZ dà un buon risultato:

troviamo l'equazione ODZ:

x = 3.

Controllare: - 4 = , 0 = 0 corretto.

Conclusione:A volte è possibile risolvere utilizzando la definizione dell'equazione ODZ, ma assicurati di controllare.

Soluzione: Equazione ODZ: -2 – x ≥ 0 x ≤ -2.

Per x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Pertanto, il lato sinistro dell'equazione è negativo e il lato destro non è negativo; quindi l'equazione originale non ha radici.

Risposta: nessuna radice.

Conclusione:Avendo fatto il ragionamento corretto sulla limitazione nella condizione dell'equazione, puoi facilmente trovare le radici dell'equazione, o stabilire che non esistono.

Usando l'esempio della risoluzione di questa equazione, mostra il doppio quadrato dell'equazione, spiega il significato della frase "solitudine dei radicali" e la necessità di verificare le radici trovate.

H) + = 1.

La soluzione di queste equazioni viene effettuata utilizzando il metodo di sostituzione delle variabili fino al ritorno alla variabile originale. Offrire la soluzione a coloro che completano prima i compiti della fase successiva.

Domande di controllo

• Come risolvere le equazioni irrazionali più semplici?
• Cosa devi ricordare quando elevi un'equazione a una potenza pari? ( possono apparire radici straniere)
• Qual è il modo migliore per verificare le radici irrazionali? ( utilizzando ODZ e condizioni per la coincidenza dei segni di entrambi i lati dell'equazione)
• Perché è necessario essere in grado di analizzare situazioni matematiche quando si risolvono equazioni irrazionali? ( Per la scelta corretta e rapida di come risolvere l'equazione).

IV. Lavoro indipendente differenziato in gruppi “Equazioni irrazionali all'esame di stato unificato”

La classe è divisa in gruppi (2-3 persone) in base ai livelli di formazione, ogni gruppo sceglie un'opzione con un compito, discute e risolve i compiti selezionati. Se necessario, chiedere consiglio all'insegnante. Dopo aver completato tutti i compiti nella loro versione e controllato le risposte dell'insegnante, i membri del gruppo finiscono individualmente di risolvere le equazioni g) e h) della fase precedente della lezione. Per le opzioni 4 e 5 (dopo aver controllato le risposte e le soluzioni da parte dell'insegnante), compiti aggiuntivi vengono scritti alla lavagna e completati individualmente.

Tutte le soluzioni individuali vengono sottoposte al docente per la verifica al termine delle lezioni.

opzione 1

Risolvi le equazioni:

a) = 6;
b) = 2;
c) = 2 – x;
d) (x + 1) (5 – x) (+ 2 = 4.

Opzione 5

1. Risolvi l'equazione:

a) = ;
B) = 3 – 2x;

2. Risolvi il sistema di equazioni:

Compiti aggiuntivi:

V. Riepilogo delle lezioni

Quali difficoltà hai riscontrato durante il completamento delle attività USE? Cosa serve per superare queste difficoltà?

VI. Compiti a casa

Ripeti la teoria della risoluzione delle equazioni irrazionali, leggi il paragrafo 8.2 nel libro di testo (presta attenzione all'esempio 3).

Risolvi il punto 8.8 (a, c), il punto 8.9 (a, c), il punto 8.10 (a).

Letteratura:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra e inizio dell'analisi matematica , libro di testo per l'11° grado degli istituti di istruzione generale, M.: Prosveshchenie, 2009.
2. Mordkovich A.G. Su alcune questioni metodologiche legate alla risoluzione delle equazioni. Matematica a scuola. -2006. -Numero 3.
3. M. Shabunin. Equazioni. Lezioni frontali per studenti e candidati delle scuole superiori. Mosca, “Chistye Prudy”, 2005. (biblioteca “Primo settembre”)
4. EN Balayan. Laboratorio di risoluzione dei problemi. Equazioni, disequazioni e sistemi irrazionali. Rostov sul Don, “Phoenix”, 2006.
5. Matematica. Preparazione all'Esame di Stato Unificato 2011. A cura di F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova Legion-M, Rostov sul Don, 2010.

Siano date due equazioni

Se ciascuna radice dell'equazione (1) è anche radice dell'equazione (2), allora l'equazione (2) è detta conseguenza dell'equazione (1). Si noti che l'equivalenza delle equazioni significa che ciascuna delle equazioni è una conseguenza dell'altra.

Nel processo di risoluzione di un'equazione, spesso è necessario applicare trasformazioni che portino ad un'equazione che sia conseguenza di quella originale. L'equazione del corollario è soddisfatta da tutte le radici dell'equazione originaria, ma, oltre ad esse, l'equazione del corollario può avere anche soluzioni che non sono radici dell'equazione originaria, queste sono le cosiddette radici estranee. Per identificare ed eliminare le radici estranee, di solito fanno questo: tutte le radici trovate dell'equazione del corollario vengono controllate mediante sostituzione nell'equazione originale.

Se, quando risolviamo un'equazione, la sostituiamo con un'equazione di corollario, il controllo di cui sopra è parte integrante della risoluzione dell'equazione. Pertanto, è importante sapere sotto quali trasformazioni questa equazione diventa una conseguenza.

Considera l'equazione

e moltiplicare entrambe le sue parti per la stessa espressione che abbia senso per tutti i valori di x. Otteniamo l'equazione

le cui radici sono sia le radici dell'equazione (3) che le radici dell'equazione . Ciò significa che l'equazione (4) è una conseguenza dell'equazione (3). È chiaro che le equazioni (3) e (4) sono equivalenti se l'equazione “estranea” non ha radici.

Quindi, se entrambi i lati dell'equazione vengono moltiplicati per un'espressione che ha senso per qualsiasi valore di x, otteniamo un'equazione che è una conseguenza di quella originale. L'equazione risultante sarà equivalente a quella originale se l'equazione non ha radici. Si noti che la trasformazione inversa, cioè la transizione dall'equazione (4) all'equazione (3) dividendo entrambi i membri dell'equazione (4) per espressione, è generalmente inaccettabile, poiché può portare a una perdita di soluzioni (in questo caso, potrebbero essere radici “perse” di un'equazione. Ad esempio, un'equazione ha due radici: 3 e 4. Dividendo entrambi i lati dell'equazione per si ottiene un'equazione che ha solo una radice 4, ovvero si è verificata una perdita della radice.

Prendiamo di nuovo l'equazione (3) e eleviamo al quadrato entrambi i lati. Otteniamo l'equazione

le cui radici sono sia le radici dell'equazione (3) che le radici dell'equazione “estranea”, cioè l'equazione è una conseguenza dell'equazione (3).

Alcune trasformazioni ci consentono di passare dall'equazione da risolvere a quelle equivalenti, nonché alle equazioni di corollario, il che semplifica la soluzione dell'equazione originale. In questo materiale ti diremo quali sono queste equazioni, formuleremo le definizioni di base, le illustreremo con esempi chiari e spiegheremo esattamente come si calcolano le radici dell'equazione originale dalle radici dell'equazione del corollario o di un'equazione equivalente.

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Il concetto di equazioni equivalenti

Equivalente tali equazioni sono chiamate quelle che hanno le stesse radici o quelle in cui non ci sono radici.

Definizioni di questo tipo si trovano spesso in vari libri di testo. Diamo alcuni esempi.

Definizione 2

L'equazione f(x) = g(x) è considerata equivalente all'equazione r(x) = s(x) se hanno le stesse radici o se entrambe non hanno radici.

Definizione 3

Le equazioni con le stesse radici sono considerate equivalenti. Sono anche considerate due equazioni che ugualmente non hanno radici.

Definizione 4

Se l'equazione f (x) = g (x) ha lo stesso insieme di radici dell'equazione p (x) = h (x), allora sono considerate equivalenti tra loro.

Quando parliamo di un insieme di radici coincidenti, intendiamo che se un certo numero è la radice di un'equazione, allora sarà adatto come soluzione per un'altra equazione. Nessuna delle equazioni equivalenti può avere una radice che non sia adatta all'altra.

Diamo alcuni esempi di tali equazioni.

Esempio 1

Ad esempio, 4 x = 8, 2 x = 4 e x = 2 saranno equivalenti, poiché ognuno di essi ha solo una radice: due. Anche x · 0 = 0 e 2 + x = x + 2 saranno equivalenti, poiché le loro radici possono essere numeri qualsiasi, cioè i loro insiemi di soluzioni coincidono. Equivalenti saranno anche le equazioni x = x + 5 e x 4 = − 1, ciascuna delle quali non ha un'unica soluzione.

Per chiarezza, considera diversi esempi di equazioni non equivalenti.

Esempio 2

Ad esempio, questi sarebbero x = 2 e x 2 = 4, poiché le loro radici sono diverse. Lo stesso vale per le equazioni x x = 1 e x 2 + 5 x 2 + 5, perché nella seconda la soluzione può essere un numero qualsiasi, e nella seconda la radice non può essere 0.

Le definizioni sopra riportate sono adatte anche per equazioni con più variabili, ma nel caso in cui si parli di due, tre o più radici, l'espressione “risolvere l'equazione” è più appropriata. Quindi, per riassumere: le equazioni equivalenti sono quelle equazioni che hanno le stesse soluzioni o nessuna soluzione.

Prendiamo esempi di equazioni che contengono più variabili e sono equivalenti tra loro. Pertanto, x 2 + y 2 + z 2 = 0 e 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 includono ciascuno tre variabili e hanno una sola soluzione, uguale a 0, in tutti e tre i casi. E la coppia di equazioni x + y = 5 e x · y = 1 non saranno equivalenti tra loro, poiché, ad esempio, i valori 5 e 3 sono adatti per la prima, ma non saranno una soluzione della secondo: sostituendoli nella prima equazione, otterremo l'uguaglianza corretta e nella seconda - errata.

Il concetto di equazioni corollari

Riportiamo alcuni esempi di definizioni di equazioni corollari tratte da libri di testo.

Definizione 5

Una conseguenza dell'equazione f (x) = g (x) sarà l'equazione p (x) = h (x), a condizione che ciascuna radice della prima equazione sia allo stesso tempo radice della seconda.

Definizione 6

Se la prima equazione ha le stesse radici della seconda, allora la seconda sarà un'equazione conseguenza della prima.

Prendiamo alcuni esempi di tali equazioni.

Esempio 3

Quindi, x · 2 = 32 sarà una conseguenza di x − 3 = 0, poiché la prima ha una sola radice, pari a tre, e sarà quindi anche la radice della seconda equazione, nell'ambito di questa definizione , un'equazione sarà una conseguenza dell'altra. Altro esempio: l'equazione (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 sarà la conseguenza di x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4 perché la seconda equazione ha due radici, pari a 2 e 3, che allo stesso tempo saranno le radici della prima.

Dalla definizione data sopra, possiamo concludere che la conseguenza di qualsiasi equazione che non abbia radici sarà anche qualsiasi equazione. Ecco alcune altre conseguenze di tutte le regole formulate in questo articolo:

Definizione 7

1. Se un'equazione è equivalente a un'altra, ciascuna di esse sarà una conseguenza dell'altra.
2. Se ciascuna delle due equazioni è una conseguenza dell'altra, allora queste equazioni saranno equivalenti tra loro.
3. Le equazioni saranno equivalenti tra loro solo se ciascuna di esse è conseguenza dell'altra.

Come trovare le radici di un'equazione dalle radici di un'equazione di corollario o di un'equazione equivalente

In base a quanto scritto nelle definizioni, nel caso in cui conosciamo le radici di un'equazione, allora conosciamo anche le radici di quelle equivalenti, poiché coincideranno.

Se conosciamo tutte le radici dell'equazione corollaria, allora possiamo determinare le radici della seconda equazione di cui è una conseguenza. Per fare questo, devi solo estirpare le radici estranee. Abbiamo scritto un articolo separato su come farlo. Ti consigliamo di leggerlo.

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Può portare alla comparsa delle cosiddette radici estranee. In questo articolo analizzeremo innanzitutto nel dettaglio di cosa si tratta radici estranee. In secondo luogo, parliamo delle ragioni del loro verificarsi. E in terzo luogo, utilizzando esempi, considereremo i principali metodi per filtrare le radici estranee, ovvero verificare la presenza di radici estranee tra loro per escluderle dalla risposta.

Radici estranee dell'equazione, definizione, esempi

I libri di testo scolastici di algebra non forniscono una definizione di radice estranea. Lì, l'idea di una radice estranea si forma descrivendo la seguente situazione: con l'aiuto di alcune trasformazioni dell'equazione, viene effettuata una transizione dall'equazione originale all'equazione del corollario, si trovano le radici dell'equazione del corollario risultante , e le radici trovate vengono controllate sostituendo nell'equazione originale, il che mostra che alcune delle radici trovate non sono radici dell'equazione originale, queste radici sono chiamate radici estranee all'equazione originale.

Partendo da questa base, puoi accettare per te la seguente definizione di radice estranea:

Definizione

Radici estranee- queste sono le radici dell'equazione del corollario ottenute come risultato di trasformazioni, che non sono le radici dell'equazione originale.

Facciamo un esempio. Consideriamo l'equazione e la conseguenza di questa equazione x·(x−1)=0, ottenuta sostituendo l'espressione con l'espressione identicamente uguale x·(x−1) . L'equazione originale ha una radice singola 1. L'equazione ottenuta come risultato della trasformazione ha due radici 0 e 1. Ciò significa che 0 è una radice estranea all'equazione originale.

Ragioni per la possibile comparsa di radici straniere

Se per ottenere l'equazione del corollario non si utilizza alcuna trasformazione “esotica”, ma si utilizzano solo trasformazioni di base delle equazioni, allora radici estranee possono sorgere solo per due motivi:

• a causa dell'espansione di ODZ e
• a causa dell'elevazione di entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza pari.

Vale la pena ricordare qui che l'espansione dell'ODZ come risultato della trasformazione dell'equazione avviene principalmente

• Quando si riducono le frazioni;
• Quando si sostituisce un prodotto con uno o più fattori zero per zero;
• Quando si sostituisce una frazione con un numeratore zero con zero;
• Quando si utilizzano alcune proprietà di potenze, radici, logaritmi;
• Quando si utilizzano alcune formule trigonometriche;
• Quando entrambi i lati di un'equazione vengono moltiplicati per la stessa espressione, essa svanisce in base all'ODZ per quell'equazione;
• Quando si libera dai segni del logaritmo nel processo di soluzione.

L'esempio del paragrafo precedente dell'articolo illustra la comparsa di una radice estranea dovuta all'espansione dell'ODZ, che si verifica quando si passa dall'equazione all'equazione del corollario x·(x−1)=0. L'ODZ per l'equazione originale è l'insieme di tutti i numeri reali, ad eccezione dello zero, l'ODZ per l'equazione risultante è l'insieme R, ovvero l'ODZ viene espanso del numero zero. Questo numero alla fine risulta essere una radice estranea.

Daremo anche un esempio della comparsa di una radice estranea dovuta all'elevazione di entrambi i membri dell'equazione alla stessa potenza pari. L'equazione irrazionale ha un'unica radice 4, e la conseguenza di questa equazione, ottenuta da essa elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione, cioè l'equazione , ha due radici 1 e 4. Da ciò è chiaro che la quadratura di entrambi i lati dell'equazione ha portato alla comparsa di una radice estranea all'equazione originale.

Si noti che espandere l'ODZ e aumentare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza non porta sempre alla comparsa di radici estranee. Ad esempio, quando si passa dall'equazione all'equazione corollaria x=2, l'ODZ si espande dall'insieme di tutti i numeri non negativi all'insieme di tutti i numeri reali, ma non compaiono radici estranee. 2 è l'unica radice sia della prima che della seconda equazione. Inoltre, non appaiono radici estranee quando si passa da un'equazione a un'equazione di corollario. L'unica radice sia della prima che della seconda equazione è x=16. Ecco perché non stiamo parlando delle ragioni della comparsa di radici estranee, ma delle ragioni della possibile comparsa di radici estranee.

Cosa protegge le radici estranee?

Il termine "vagliatura delle radici estranee" può essere definito solo con un tratto stabilito; non si trova in tutti i libri di testo di algebra, ma è intuitivo, motivo per cui viene solitamente utilizzato. Cosa si intende per vagliare le radici estranee diventa chiaro dalla seguente frase: “... la verifica è un passo obbligatorio nella risoluzione di un'equazione, che aiuterà a rilevare le radici estranee, se presenti, e a scartarle (di solito si dice “estirpare le radici estranee”). ”).”

Così,

Definizione

Schermatura delle radici estranee- questo è il rilevamento e lo scarto di radici estranee.

Ora puoi passare ai metodi per eliminare le radici estranee.

Metodi per escludere le radici estranee

Controllo della sostituzione

Il modo principale per filtrare le radici estranee è un test di sostituzione. Permette di estirpare radici estranee che potrebbero sorgere sia a causa dell'espansione dell'ODZ sia a causa dell'innalzamento di entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza.

Il test di sostituzione è il seguente: le radici trovate dell'equazione del corollario vengono sostituite a loro volta nell'equazione originale o in qualsiasi equazione ad essa equivalente, quelle che danno l'uguaglianza numerica corretta sono le radici dell'equazione originale, e quelle che danno l'uguaglianza numerica corretta sono le radici dell'equazione originale, e quelle che danno l'uguaglianza numerica corretta un'uguaglianza o un'espressione numerica errata sono le radici dell'equazione originale prive di significato, sono radici estranee all'equazione originale.

Mostriamo con un esempio come filtrare le radici estranee mediante la sostituzione nell'equazione originale.

In alcuni casi, è più opportuno filtrare le radici estranee utilizzando altri metodi. Ciò si applica principalmente a quei casi in cui il controllo per sostituzione è associato a significative difficoltà computazionali o quando il metodo standard per risolvere equazioni di un certo tipo richiede un altro controllo (ad esempio, lo screening di radici estranee durante la risoluzione di equazioni razionali frazionarie viene effettuato secondo il metodo condizione che il denominatore della frazione non sia uguale a zero ). Diamo un'occhiata a modi alternativi per eliminare le radici estranee.

Secondo il DL

A differenza del test per sostituzione, filtrare le radici estranee utilizzando ODZ non è sempre appropriato. Il fatto è che questo metodo consente di filtrare solo le radici estranee che si formano a causa dell'espansione dell'ODZ, e non garantisce la vagliatura delle radici estranee che potrebbero formarsi per altri motivi, ad esempio a causa del sollevamento di entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza pari. Inoltre, non è sempre facile trovare la OD dell'equazione da risolvere. Tuttavia, vale la pena mantenere in servizio il metodo per eliminare le radici estranee utilizzando ODZ, poiché il suo utilizzo spesso richiede meno lavoro computazionale rispetto all'uso di altri metodi.

L'eliminazione delle radici estranee secondo l'ODZ viene eseguita come segue: tutte le radici trovate dell'equazione di corollario vengono controllate per vedere se appartengono all'intervallo di valori consentiti della variabile per l'equazione originale o qualsiasi equazione ad essa equivalente, quelle che appartengono all'ODZ sono radici dell'equazione originale, e quelle che appartengono all'ODZ sono radici dell'equazione originale, e quelle che non appartengono all'ODZ sono radici estranee all'equazione originale.

L'analisi delle informazioni fornite porta alla conclusione che è consigliabile eliminare le radici estranee utilizzando ODZ se allo stesso tempo:

• è facile trovare l'ODZ per l'equazione originale,
• radici estranee potrebbero formarsi solo a causa dell’espansione dell’ODZ,
• Il test di sostituzione è associato a notevoli difficoltà computazionali.

Mostreremo come viene eseguita nella pratica l'eliminazione delle radici estranee.

Secondo quanto previsto dal DL

Come abbiamo detto nel paragrafo precedente, se radici estranee potessero formarsi solo a causa dell'espansione dell'ODZ, allora possono essere eliminate utilizzando l'ODZ per l'equazione originale. Ma non è sempre facile trovare ODZ sotto forma di insieme numerico. In questi casi è possibile eliminare le radici estranee non in base all'ODZ, ma in base alle condizioni che determinano l'ODZ. Spieghiamo come viene effettuata l'eliminazione delle radici estranee nelle condizioni di ODZ.

Le radici trovate vengono a loro volta sostituite nelle condizioni che determinano l'ODZ per l'equazione originale o qualsiasi equazione ad essa equivalente. Quelli che soddisfano tutte le condizioni sono le radici dell'equazione. E quelli che non soddisfano almeno una condizione o danno un'espressione priva di senso sono radici estranee all'equazione originaria.

Facciamo un esempio di screening delle radici estranee secondo le condizioni di ODZ.

Eliminare le radici estranee derivanti dall’elevare entrambi i lati dell’equazione a una potenza pari

È chiaro che l'eliminazione delle radici estranee derivanti dall'elevazione di entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza pari può essere effettuata sostituendola nell'equazione originale o in qualsiasi equazione ad essa equivalente. Ma un tale controllo può comportare notevoli difficoltà computazionali. In questo caso, vale la pena conoscere un metodo alternativo per eliminare le radici estranee, di cui parleremo ora.

Eliminare le radici estranee che possono sorgere quando si elevano entrambi i lati delle equazioni irrazionali della forma alla stessa potenza pari , dove n è un numero pari, può essere effettuato secondo la condizione g(x)≥0. Ciò segue dalla definizione di radice di grado pari: una radice di grado pari n è un numero non negativo, la cui ennesima potenza è uguale al numero radicale, da cui . Pertanto, l'approccio espresso è una sorta di simbiosi tra il metodo per elevare entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza e il metodo per risolvere equazioni irrazionali determinando la radice. Cioè, l'equazione , dove n è un numero pari, viene risolto elevando entrambi i lati dell'equazione alla stessa potenza pari, ed eliminando le radici estranee viene effettuato secondo la condizione g(x)≥0, presa dal metodo di risoluzione delle equazioni irrazionali mediante determinazione della radice.

Permettendoti di passare dall'equazione da risolvere alla cosiddetta equazioni equivalenti E equazioni di corollario, dalle cui soluzioni è possibile determinare la soluzione dell'equazione originale. In questo articolo analizzeremo in dettaglio quali equazioni sono dette equivalenti e quali sono dette equazioni corollari, forniremo le definizioni corrispondenti, forniremo esempi esplicativi e spiegheremo come trovare le radici di un'equazione utilizzando le radici note di un'equazione equivalente e di un'equazione corollaria .

Equazioni equivalenti, definizione, esempi

Definiamo le equazioni equivalenti.

Definizione

Equazioni equivalenti- queste sono equazioni che hanno le stesse radici o non hanno radici.

Definizioni uguali nel significato, ma leggermente diverse nella formulazione, sono fornite in vari libri di testo di matematica, ad esempio:

Definizione

Si chiamano le due equazioni f(x)=g(x) e r(x)=s(x). equivalente, se hanno le stesse radici (o, in particolare, se entrambe le equazioni non hanno radici).

Definizione

Si chiamano equazioni che hanno la stessa radice equazioni equivalenti. Anche le equazioni che non hanno radici sono considerate equivalenti.

Per radici stesse si intende quanto segue: se un numero è la radice di una delle equazioni equivalenti, allora è anche la radice di qualunque altra di queste equazioni, e nessuna delle equazioni equivalenti può avere una radice che non sia quella radice di qualsiasi altra di queste equazioni.

Diamo esempi di equazioni equivalenti. Ad esempio, tre equazioni 4 x = 8, 2 x = 4 e x = 2 sono equivalenti. Ciascuno di essi infatti ha un'unica radice 2, quindi sono equivalenti per definizione. Altro esempio: due equazioni x·0=0 e 2+x=x+2 sono equivalenti, gli insiemi delle loro soluzioni coincidono: la radice sia della prima che della seconda è un numero qualsiasi. Anche le due equazioni x=x+5 e x 4 =−1 sono esempi di equazioni equivalenti; entrambe non hanno soluzioni reali.

Per completare il quadro, vale la pena fornire esempi di equazioni disuguali. Ad esempio, le equazioni x=2 e x2=4 non sono equivalenti, poiché la seconda equazione ha radice −2, che non è la radice della prima equazione. Anche le equazioni e non sono equivalenti, poiché le radici della seconda equazione sono numeri qualsiasi e il numero zero non è la radice della prima equazione.

La definizione di equazioni equivalenti si applica sia alle equazioni con una variabile che alle equazioni con un gran numero di variabili. Tuttavia, per le equazioni con due, tre, ecc. variabili, la parola “radici” nella definizione deve essere sostituita con la parola “soluzioni”. COSÌ,

Definizione

Equazioni equivalenti- queste sono equazioni che hanno le stesse soluzioni o non le hanno.

Mostriamo un esempio di equazioni equivalenti con più variabili. x 2 +y 2 +z 2 =0 e 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - ecco un esempio di equazioni equivalenti con tre variabili x, y e z, entrambe hanno un'unica soluzione (0, 0 , 0). Ma le equazioni con due variabili x+y=5 e x·y=1 non sono equivalenti, poiché, ad esempio, una coppia di valori x=2, y=3 è una soluzione della prima equazione (sostituendo questi valori ​​nella prima equazione otteniamo l'uguaglianza corretta 2+3=5), ma non è una soluzione della seconda (sostituendo questi valori nella seconda equazione otteniamo l'uguaglianza errata 2·3=1).

Equazioni di conseguenza

Ecco le definizioni delle equazioni corollari dai libri di testo scolastici:

Definizione

Se ciascuna radice dell'equazione f(x)=g(x) è allo stesso tempo radice dell'equazione p(x)=h(x), allora l'equazione p(x)=h(x) si chiama conseguenza equazioni f(x)=g(x) .

Definizione

Se tutte le radici della prima equazione sono radici della seconda equazione, allora viene chiamata la seconda equazione conseguenza prima equazione.

Diamo un paio di esempi di equazioni corollari. L'equazione x 2 =3 2 è una conseguenza dell'equazione x−3=0. Infatti la seconda equazione ha un'unica radice x=3, questa radice è anche la radice dell'equazione x 2 =3 2, quindi per definizione l'equazione x 2 =3 2 è una conseguenza dell'equazione x−3= 0. Altro esempio: l'equazione (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 è una conseguenza dell'equazione , poiché tutte le radici della seconda equazione (ce ne sono due, queste sono 2 e 3) sono ovviamente le radici della prima equazione.

Dalla definizione di equazione corollaria segue che assolutamente qualsiasi equazione è una conseguenza di qualsiasi equazione che non abbia radici.

Vale la pena citare alcune conseguenze abbastanza ovvie della definizione di equazioni equivalenti e della definizione di equazione corollaria:

• Se due equazioni sono equivalenti, allora ciascuna di esse è conseguenza dell'altra.
• Se ciascuna delle due equazioni è una conseguenza dell'altra, allora queste equazioni sono equivalenti.
• Due equazioni sono equivalenti se e solo se ciascuna di esse è conseguenza dell'altra.